导数解曲线公切线问题 Prepared on 24 November 2020
导数解公切线专题
1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594
y ax x =+-都相切，则a 等于
A ．1-或25-64
B ．1-或214
C ．74-或25-64
D ．74-或7 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．
3.求曲线y =x 3+x 2－2x 在点A (1,0)处的切线方程. 变式：求曲线y =x 3+x 2－2x 过点A (1,0)的切线方程.
1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594
y ax x =+-都相切，则a 等于
A ．1-或25-64
B ．1-或214
C ．74-或25-64
D ．74-或7 1.设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为
320003()y x x x x -=-
即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032
x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564
a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594
y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．
【答案】1ln2-
考点：导数的几何意义.
3.求曲线y=x3+x2－2x在点A(1,0)处的切线方程. 解：∵y′=3x2+2x－2,
∴切线斜率k= y′|x=1=3.
∴切线方程为y=3(x－1)，
即 3x－y－3=0.
变式：求曲线y=x3+x2－2x过点A(1,0)的切线方程. 解设切点P（x0, x03+x02－2x0），
∵y′=3x2+2x－2，
∴切线斜率k=3x02+2x0－2.
∴切线方程为
y－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(x－x0) .
∵点A在切线上，
∴0－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(1－x0)．即x03－x02－x0+1=0．
·
A
O x y
故 (x0－1)2 ( x0+1）=0．
解得x0=－1 或x0= 1 ．
∴当x0=－1时，切线方程为x+y－1=0；当x0=1时，切线方程为３x－y－３=0．综上，曲线过点A（1，0）的切线方程为 3x－y－3=0，或x+y－1=0.。