课题：2.4极限的四则运算(二)教学目的:掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限教学重点：运用数列极限的运算法则求极限。

教学难点:数列极限法则的运用.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1。

数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限。

记作lim n n a a →∞=．2。

几个重要极限: (1）01lim=∞→n n （2)C C n =∞→lim (C 是常数) （3)无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0,即1(0lim <=∞→q q nn3。

函数极限的定义：（1)当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f （x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a 。

记作：+∞→x lim f （x ）=a ,或者当x →+∞时，f (x ）→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f （x ）的极限是a . 记作-∞→x lim f （x )=a 或者当x →－∞时,f （x ）→a 。

（3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f （x ）=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x ）→a . 4.常数函数f (x )=c 。

（x ∈R ），有∞→x lim f (x ）=c 。

∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f （x )和-∞→x lim f （x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5。

趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x (0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地,C C x x =→0lim ；0lim x x x x =→6.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==7.对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ,那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ，B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim ，0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 当C 是常数,n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=，nx x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用 二、讲解新课：1。

数列极限的运算法则：与函数极限的运算法则类似，如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n2.推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim三、讲解范例：例1已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→解:因为,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，所以lim(34)lim3lim43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞-=-=-=-=例2 求下列极限：（1）)45(lim nn +∞→；（2）2)11(lim -∞→n n解：(1)44lim(5)lim5lim 505n n n n n →∞→∞→∞+=+=+=；(2)22211lim(1)(limlim1)(01)1n n n nn →∞→∞→∞-=-=-= 例3求下列极限：（1）)21(lim 2n n n +∞→。

（2）nn n 23lim -∞→。

（3）232lim 22++∞→n n n n .（4)24323lim n n n n n -+∞→。

解:(1）0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n 。

（2)(方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n n .（方法二）∵n →∞,∴n ≠0.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim23lim==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以。

使用上述方法就简单多了。

因为分母上是3n 2+2，有常数项,所以(2)的方法一就不能用了。

(3)3203022lim 3lim 1lim 2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim 22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n n n n . 规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比. 解：(4)分子、分母同除n 的最高次幂即n 4，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n nn n n n n n n n n n n n . 规律二：一般地,当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时,当n →∞时，这个分式极限为0. 例4求下列极限.（1）)13(lim 2n n n n -+-∞→。

(2)21323lim -++-∞→n n n 。

(3）1513lim ++-∞→n n n .解:（1）11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n n n 。

(2)30103211323lim 21323lim =-+=-++-=-++-∞→∞→nnn nn n n n 。

(3）001001lim1lim 5lim13lim 11513lim 1513lim 22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n n n n n .说明:当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个(或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在四、课堂练习：1．已知,2lim =∞→n n a 31lim -=∞→n n b ,求下列极限： （1）)32(lim n n n b a +∞→；（2）nnn n a b a -∞→lim2.求下列极限：（1))14(lim nn -∞→;（2）nn 352lim+-∞→3.求下列极限:（1）nn n 1lim +∞→；（2） 23lim -∞→n n n ；（3)2123lim n n n --∞→;（4）13lim 22-→n n4。

已知,3lim =∞→n n a ,5lim =∞→n n b 求下列极限：（1）.).43(lim n n n b a -∞→ （2）。

nn nn n b a b a +-∞→lim答案：1。

⑴3⑵7/62⑴4⑵—2/53。

⑴1⑵1/3⑶0⑷—2/34。

⑴-11⑵—1/4五、小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的和或积是成立的求数列极限的一种主要的方法就是分子、分母同除以n 的最高次幂.并且记住两条规律。

这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了. 六、课后作业:求下列极限:1。

（1));27(lim nn -∞→(2)。

)51(lim 2-∞→n n ；（3）)43(1lim +∞→n n n ；(4）.1111lim -+∞→nn n ；（5).22321lim n n n ++++∞→ ；（6).11657lim -+∞→n nn ；（7）。

91lim 2-+∞→n n n ； （8))1412lim(22n n n n +-+∞→； （9）nnn 31913112141211lim ++++++++∞→ ;（10）。

已知,2lim =∞→n n a 求nn n a n a n -+∞→lim答案:⑴7⑵-5⑶0⑷—1⑸1/4⑹5/6⑺0⑻-4⑼4/3⑽1。

七、板书设计（略）八、课后记：。