第一章 信号及其描述一、知识要点及要求(1)了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；(2)掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； (3)掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质；(4)掌握随机信号的特点，了解随机信号的时域统计描述（与周期信号的强度描述相对照），概率密度函数描述，相关函数和功率谱。

二、重点内容及难点(一)信号的分类(二)信号的时域—频域描述信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。

(三)周期信号与离散频谱 周期信号频谱的三个特点：(1)离散性：即周期信号的频谱是离散的。

(2)谐波性：即每条谱线只出现在基频的整数倍上。

(3)收敛性：即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。

各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。

(四)非周期信号与连续频谱 非周期信号：(1)准周期信号：但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。

如)2s i n ()s i n ()(00t t t x ωω+=，频谱是离散的。

(2)瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。

频谱密度函数；即)(f X 与n C 很相似，但n C 的量纲与信号幅值的量纲一样，而)(f X 的量纲是单位频宽上的幅值。

(五)随机信号的描述1、随机信号（又称随机过程），不能用确定的数学关系式来描述，只能用概率统计的方法来描述。

平稳随机过程，其统计特征参数不随时间而变化，是一个常值；否则，非平稳随机过程。

各态历经的随机过程，即在平稳随机过程中，任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征；否则，非各态历经的随机过程。

各态历经的随机过程必然是平稳随机过程，而平稳随机过程不一定是各态历经的随机过程。

工程上所遇到的很多随机信号都具有各态历经性，即可以用时间平均来代替集合平均。

2、时域统计特征参数(1)均值⎰∞→=TT x dt t x T)(1lim μ，表示信号的常值分量。

(2)均方值（平均功率）⎰∞→=TT xdt t x T 022)(1lim ψ，表示信号的强度。

均方根值（有效值）2x rms x ψ= (3)方差()⎰-=∞→Tx T xdt t x T22)(1lim μσ，表示信号的波动分量。

均方差（标准差）2x x σσ= 三者之间的关系：222x x x μσψ+=3、概率密度函数：提供了信号幅值分布的信息，不同的信号有不同的概率密度函数图形， 因此可以用来识别信号的性质。

4、相关函数与功率谱密度函数（具体见第五章）对于各态历经的平稳随机信号，均值、均方值、方差为常数，概率密度函数、相关函数和 功率谱为确定函数，且可用有限长时间T 内的平均值作估计。

对于确定性信号（周期信号和非周期信号），这几个统计值的概念完全适用。

周期信号只需在一个周期T 0内求平均即可； 非周期信号可用有限长时间T 内的平均值作估计。

三、习题解答习题1-1 求周期方波的傅里叶级数(复指数函数形式)，画出ω-n c 和ωϕ-n 图，并与表1-1对比。

解：傅里叶级数的复指数形式的表达式为：()() ,2,1,00±±==∑+∞-∞=n ec t x n tjn nω式中：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧±±±=±±±=-=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==+----+----⎰⎰⎰ ,6,4,2,0;0,5,3,1;2cos 1111200200022002200000000000n n n A j n n Aj ejn A e jn A T dt e A dt e A T dt e t x T c Tt jn T t jn T T t jn t jn T T tjn n πππωωωωωωω所以 ()()∑+∞-∞=±±±=⎪⎭⎫⎝⎛-=n tjn n e n A j t x ,5,3,1;20ωπ幅值频谱：()()⎪⎩⎪⎨⎧±±±=±±±==+= ,6,4,2,0;0,5,3,1;222n n n AC C C nInR n π相位频谱：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±±±=---==-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-== ,6,4,2,0;0,5,3,1;2,5,3,1;202n n n n A a r c t g C C a r c t g nRnIn πππϕ习题1-2 求正弦信号()t x t x ωsin 0=的绝对均值x u 和均方根值rms x 。

解：()⎰⎰⎰====0000000002sin sin 11T T T xxdt t T x dt t x T dt t x T πωωμ式中：ωπ20=T()()2sin 110020020x dt t x T dt t x T x T T rms ===⎰⎰ω习题1-3 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。

解：幅值谱：2224)(f a A f x π+=; 相位谱：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a f arctg f πϕ2单边指数衰减信号频谱图A /aπ/2-π/2222)2(020224)2(2)()()(f a f j a A f j a A dte A dt e Ae dte t x dt et x f x t f j a ft j at ft j ftj πππππππ+-=+=====⎰⎰⎰⎰∞+-∞--∞-∞∞--习题1-4 求符号函数和单位阶跃函数的频谱。

解：(1)符号函数的频谱：10()sgn()10t x t t t +>⎧==⎨-<⎩t =0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。

先求此乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x (t )的频谱。

()()⎩⎨⎧<>->>==--0,0,0,0,sgn 1t a e t a e t et x atat ta 10()sgn()lim ()a x t t x t →==022211224()()(2)j f t at j f t at j f t fX f x t e dt e e dt e e dt ja f ∞∞-----∞-∞==-+=-+⎰⎰⎰πππππ []101()sgn()lim ()a X f t X f jf→===-πF 1()X f fπ=2()02f f f πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩图1-25 题1-4图a)符号函数b)阶跃函数(2)单位阶跃函数的频谱：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩ 在跳变点t =0处函数值未定义，或规定u (0)=1/2。

阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。

由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。

11()sgn()22u t t =+ [][]1111111()()sgn()()()22222U f u t t f j f j f f ⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+=+-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦δδππF F F()U f =结果表明，单位阶跃信号u (t )的频谱在f =0处存在一个冲激分量，这是因为u (t )含有直流分量，在预料之中。

同时，由于u (t )不是纯直流信号，在t =0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。

习题1-5 求被截断的余弦函数t 0cos ω的傅立叶的变换⎩⎨⎧≥<=Tt T t t t x 0cos )(0ω单位阶跃信号频谱f|U (f )|(1/2)1()sgn()at x t e t -=符号函数tx 1(t ) 01-1符号函数频谱解：(1)第一种解法：[][]()()()(){}T f f c T f f c T f f f f T f f f f T dtt f f t f f dtft t f td ft j ft t f dte t xf x TTT TT ft j 0000000000022sin 2sin )(2)(2sin )(2)(2sin )(2cos )(2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos )()(-++=--+++=-++==-==⎰⎰⎰⎰--∞∞--ππππππππππππππ可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。

也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

题1-5图(2)第二种解法：被截断的余弦函数可以看成为：余弦函数与矩形窗函数()t w 的乘积，即：()()()()()()t w e e t w e e t w t t x t f j t f j t j t j ⋅+=⋅+=⋅=--00002202121cos ππωωω 根据卷积定理，其傅里叶变换为：()()()[]()()()()(){}T f f c T f f c T fT c T f f f f f X 00002sin 2sin 2sin 221-++=*-++=πππδδ 习题1-6 求指数衰减振荡信号()()0,0sin 0>>=-t a t e t x at ω的频谱。

解：其傅里叶变换为：()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===⎰⎰⎰∞---∞--∞∞--0002220202212122sin 00f f j a f f j a j dt e e e j e dt et edt et x f X ft j t f j t f j at ftj atftj ππωπππππ习题1-7 设有一时间函数)(t f 及其频谱如图1-27所示，现在乘以余弦型振荡)(c o s 00m t ωωω>，在这个关系中，函数)(t f 叫做调制信号，余弦型振荡t 0cos ω叫做载波。

试求调幅信号t t f 0cos )(ω的傅立叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。

又问：若m ωω<0时将会出现什么情况？图1-27 题1-7图解：(1)令()()()()t j t j e t f e t f t t f t x 002121cos 0ωωω+==- (2)根据傅里叶变换的频移性质，有：()()()002121ωωωωω-++=F F X 频谱示意图如下：(3)当m ωω<0时，由图可见，()0ωω+F ，()0ωω-F 出现混叠现象，不能通过滤波的方法提取出原信号)(t f 的频谱。