22．1二次函数的图像和性质（一）一、学习目标1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。

二、学习重点难点1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；2．难点：理解二次函数的概念。

三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。

问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。

问题5：什么是二次函数？形如。

问题6：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？（三）尝试应用：例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值．注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。

例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。

求这个二次函数的解析式．(待定系数法)（四）巩固提高：1．下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x －2+x ．2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。

3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。

写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。

4、已知二次函数y=x²+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式．（五）小结：1．二次函数的一般形式是 。

2．会用 法求二次函数解析式。

（六）作业设计22．1二次函数y=ax ²的图像和性质（二）一．学习目标：mm 221)x (m y --=1、会用描点法画出y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象，理解抛物线的有关概念。

2、经历、探索二次函数y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。

二．学习重、难点：1. 重点：画形如y=ax 2 与 y=ax 2+k 的二次函数的图象。

2. 难点：用描点法画出二次函数y=ax 2与y=ax 2+k 的图象以及探索二次函数性质三．教学过程：（一）创设情境、导入新课：复习提问：一次函数的图象是 ，反比例函数的图象是 。

我们可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。

（二）自主探究、合作交流：做一做：1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2 、y=2x 2、y ＝12x 2 的图 象。

讨论：观察并比较三个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、交流结论） 结论： 。

想一想：函数y=－x 2、y=－2x2y ＝－12x 2的图象有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、交流结论）结论： 。

结合上述二次函数的性质总结函数y=ax 2的图象的性质：1．函数y=ax 2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

2．当a>0时，抛物线y=ax 2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点；当a<O 时，抛物线y=ax 2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最高的点。

3．｜a ｜越大，开口越 。

练一练 ：分别写出函数y ＝13x 2与 y ＝－13x 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

做一做：2． 在同一直角坐标系中，画二次函数y=x 2、y=x 2+1、y=x 2－1图象。

讨论：①抛物线y=x2+1，y=x2－1 的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？②抛物线与y=x2+1，y=x2－1抛物线y=x2有什么关系？③它们的位置关系由什么决定？②把抛物线y=x的图象向平移个单位，就得到抛物线y=x+1 的图象，向平移个单位就得到y=x2－1的图象。

③它们的位置是由决定的。

猜想：当二次项系数小于0时和二次项系数的绝对值发生变化时，抛物线将发生怎样的变化？交流结论：二次项系数小于0时，抛物线的开口向，二次项系数的绝对值越，开口越小，反之越大。

通过讨论和猜想，总结函数y=ax2+k的图象有哪些性质？小组交流、讨论得出二次函数y=ax2+k的图象的性质：①当a＞0时开口向，当a＜0时开口向。

②对称轴是。

③顶点坐标是。

④｜a｜越，开口越小。

练一练：1．分别写出函数y＝12x2，y＝12x2＋2，y＝12x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2．分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝12x2得到抛物线y＝12x2＋2和y＝12x2－2?（三）小结：22向平移个单位得到的。

（四）作业设计。

22．1二次函数y＝a(x—h)2的图象和性质（三）学习目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2 与y=a(x－h)2＋k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2与y=a(x－h)2＋k的性质，学习重点、难点：1.重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2与y=a(x－h)2＋k的性质。

2．难点：理解二次函数y＝a(x－h)2与y=a(x－h)2＋k的性质。

教学过程：一．创设情境、导入新课：问题：结合二次函数y＝－12x2，y＝－12x2－1的图象，回答：(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

二．自主探究、合作交流问题1：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象。

1．完成下表填空。

2.问题2：二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?让学生分组讨论，交流合作，总结出结论：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；函数y＝2(x一1)2的图象的对称轴是，顶点坐标是；可以看作是函数y＝2x2的图象向平移个单位得到的。

由此可得二次函数y＝a(x－h)2的图象的性质是：（1）a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是；a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小，当x= 时函数有最大值，是。

(2)对称轴是，顶点坐标是；（3）二次函数y＝a(x－h)2的图象可以看作是把函数y=ax²的图象沿x轴整体平移个单位(当h>0时，向平移;当h<0时，向平移)。

问题3：说出函数y＝－14x2，y＝－14(x＋2)2和y＝－14(x－2)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

问题4：函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?学生分组讨论，互相交流，得出结论：函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向平移个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向平移个单位再向平移个单位得到的；对称轴是，顶点坐标是。

由此可得二次函数y=a(x－h)2＋k的图象的性质：（1）a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是；a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小，当x= 时函数有最大值，是。

(2)对称轴是，顶点坐标是；（3）二次函数y=a(x －h)2＋k 的图象可以看作是把函数y=ax ²的图象先沿x 轴整体 平移 个单位(当h>0时，向 平移;当h<0时，向 平移)，再沿对称轴整体 平移 个单位 (当k>0时向 平移;当k<0时，向 平移)得到的。

问题5：已知抛物线y=4(x －3)2－16 ． （1）写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。

（2）写出函数的增减性和函数的最值．（三）尝试应用：例：要修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为m 1处达到最高，高度为m 3，水柱落地处离中心m 3，水管应多长？分析：先建立如图直角坐标系：以池中心为坐标原点，水管所在的竖直方向为y 轴，水平方向为x 轴建立直角坐标系，得到抛物线的解析式，因而求水管的长，即求的值。

，时y x 0=（四）巩固提高：1、把抛物线()322++=x y 向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的抛物线解析式是2、已知s =–(x +1)2–3，当x 为 时，s 取最 值为 。

3、一个二次函数的图象与抛物线23x y =形状、开口方向相同，且顶点为()1,4，那么这个函数的解析式是 （五）小结：1、一般地，抛物线y ＝a(x －h)2与()k h x a y +-=2的图象特点相同；2、二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径． （六）作业22．1二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像和性质（四） 一、学习目标：1．能通过配方把二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2． 会用公式确定)0(2≠++=a c bx ax y 对称轴和顶点坐标。

二、学习重点和难点：重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴。

难点：配方法的推导过程。

x三、学习过程：（一）创设情境、导入新课： 1、填表：2、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：⑴3235312+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y⑵()1.22.17.02-+-=x y⑶()2010152++=x y⑷4321412-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x y3、用配方法把下列函数化为()k h x a y +-=2的形式：⑴542++=x x y ⑵ x x y 2412+-=（二）自主探究、合作交流：思考：怎样画函数542++=x x y 的图象？1、 首先用配方法将函数542++=x x y 写成()k h x a y +-=2的形式。