试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程y bx a =+中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12iz +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b •+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM ON =的最大值为 A ．42 B ．32 C ．4 D ．36. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A. 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9. 不等式130x x +--≥的解集是 .10. 72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）11. 等差数列n a 前9项的和等于前4项的和. 若141,0k a a a =+=，则k=____________.12. 函数2()31f x x x =-+在x=____________处取得极小值。

13. 某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为5cos(0)sinxyθθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和25()4x tt Ry t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB, 则AB= 。

三．解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

（1）（本小题满分12分）已知函数1()2sin(),.36f x x x Rπ=-∈(1)求5()4fπ的值；(2)设106,0,,(3),(32),22135f a fππαββπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值.17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)如图5.在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.19.(本小题满分14分)设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切。

（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程; （2）已知点M 3545(,),(5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标. 20.（本小题共14分） 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a ++≤+21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:214y x =.实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。

（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段AB 上任一点Q(p ，q)有0(,);2p p q ϕ=（2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a ≠0. 过M(a ，b)作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。

线段EF 上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) ∈X ⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =;（3）设D={ (x,y)|y ≤x-1,y ≥14(x+1)2-54}.当点(p,q)取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题二、填空题 ９. [1,)+∞； 10. 84； 11. 10；12. 2；13. 185；14. (1,5；15.三、解答题 16．解：(1)55()2sin()2sin 41264f ππππ=-==; (2)10(3)2sin 213f παα+==，5sin 13α∴=，又[0,]2πα∈，12cos 13α∴=， 6(32)2sin()2cos 25f πβπββ+=+==，3cos 5β∴=，又[0,]2πβ∈，4sin 5β∴=， 16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=. 17．解：（1）乙厂生产的产品总数为1453598÷=； （2）样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=；（3）0,1,2ξ=， 22325()i iC C P i C ξ-==(0,1,2)i =，ξ的分布列为均值3()125105E ξ=⨯+⨯=. 18.解：(1) 取AD 的中点G ，又P A =PD ，PG AD ∴⊥，由题意知ΔABC 是等边三角形，BG AD ∴⊥， 又PG ,BG 是平面PGB 的两条相交直线，AD PGB ∴⊥平面，//,//EF PB DE GB ， DEF PGB ∴平面//平面，AD DEF ∴⊥平面(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅.GPAＳBＳCＳDＳFE由题意得12||2||2R CF CF =-=+或21||2||2R CF CF =-=+，1212||||||4||CFCF F F ∴-=<=，可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，设方程为22221x y a b -=，则22224,2,1,1a a c b c a b ====-==，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．（２）∵||||||||2MP FP MF -≤=，仅当(0)PM PF λλ=>时，取＂＝＂，由2MFk =-知直线:2(MF l y x =-，联立2214x y-=并整理得21590x -+=解得5x =15x =舍去），此时(-55P 所以||||||MP FP -最大值等于2，此时(55P ． 20．解（１）法一：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设n n n b a =，则121n n b b b b-=⋅+(2)n ≥， （ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122(1)n n b b b bλ-=⋅+-， 令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b-∴+=⋅+--(2)n ≥， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -∴+=+⋅--，又11b b=， 12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n nnb b a b -∴=-．法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-． （２）（ⅰ）当2b =时， 112212n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；（ⅱ）当2b ≠时，22122n n n n b b ++≥=，21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥=，以上n 个式子相加得2212n n b b -+⋅+111122n n n n b b +--++⋅+⋅+2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n nn n nn b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n nb b b b b b b --++⋅++⋅+--⋅-=- 2121111(2)222(2)n n n n n n n n nb b b b +++++--⋅+⋅=- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n b b b b +++++-⋅+⋅-=-1112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．21．解：（１）00011'|()|22AB x p x p k y x p =====， 直线AB 的方程为200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-， 2001124q p p p ∴=-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ∆=-=-， 两根001,2||22p p p p x ±-==或02pp -， 00p p ⋅≥，00||||||||22p pp p ∴-=-，又00||||p p ≤≤， 000||||||||222p p p p ∴-≤-≤，得000||||||||||222p p pp p ∴-=-≤， 0(,)||2p p q ϕ∴=． （２）由240a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，①当0,0a b >≥时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >≥，得12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>． ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；(,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>， 综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>（*）；由（１）知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12pa -， 同理点M 在直线''E F 上，方程20x ax b -+=的两根21,22p x =或22p a -， 若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -、2||2p 、2||2pa -小， 12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M ab X ⇒∈，1(,)||2p a b ϕ∴=⇒(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)||2pa b ϕ⇒=；1(,)||2p a b ϕ∴=⇔(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证． （３）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤， 过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得200240x px q -+=，解得0x p =+又215(1)44q p ≥+-，即2442p q p -≤-，0x p ∴≤t =，20122x t t ∴≤-++215(1)22t =--+，0max max ||2x ϕ=，又052x ≤，max 54ϕ∴=； 1q p ≤-，0|2|2x p p p ∴≥+=+-=，min min ||12x ϕ∴==．2011年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011⋅广东理，1】1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z = ( )． A ．1i + B ．1i - C ．22i + D ．22i - 【答案】B ． 【解析】依题意得211z i i==-+，故选B ． 【2011⋅广东理，2】2．已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则AB 的元素个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C ．【解析】 题意等价于求直线y x =与圆221x y +=的交点个数,画大致图像可得答案． 【2011⋅广东理，3】3．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则⋅(2)=c a +b ( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】D ．【解析】因为a ∥b 且a ⊥c ,所以b ⊥c ，从而⋅⋅⋅(2)=20c a +b c a +c b =．【2011⋅广东理，4】4．设函数()f x 和()g x 分别是实数集R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 【答案】A ．【解析】 依题意()(),()()f x f x g x g x -=-=-,故()|()|()|()|f x g x f x g x -+-=+,从而xy O22A()|()|f x g x + 是偶函数，故选A ．【2011⋅广东理，5】5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅的最大值为 ( )．A ．42B ．32C ．4D ．3 【答案】C ．【解析】 目标函数即2z x y =+,画出可行域如图所示， 代入端点比较之，易得当2,2x y ==时z 取得最大值4,故选C ．【2011⋅广东理，6】6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A ．12 B ．35 C ．23 D ．34【答案】D ．【解析】设甲队获得冠军为事件A ,则A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A =+⨯=,从而选D ． 【2011⋅广东理，7】7．如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．A ．63B ．93C ．123D ．183 【答案】B ．【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,高为3,所以面积33S =,从而所求几何体的体积93V Sh ==,故选B ．【2011⋅广东理，8】8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集, YV Z =,且,,a b c T ∀∈,有abc T ∈；,,x y z V ∀∈,有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是 ( )．A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A ． 【解析】 因为TV Z =,故必有．．1∈T 或1∈V ,不妨设1∈T ,则令1c =,依题意对,a b T ∀∈,有ab T ∈,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N =,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但V 显然是不封闭的,如(1)(2)2V -⨯-=∉;同理,若{T =奇数}，{V =偶数}，显然两者都封闭，从而选A ．二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）【2011⋅广东理，9】9．不等式130x x +--≥的解集是 ． 【答案】[)1,+∞．【解析】解法一:原不等式⇔1(1)(3)0x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或131(3)0x x x -<≤⎧⎨+--≥⎩或31(3)0x x x >⎧⎨+--≥⎩，解得1x ≥,从而原不等式的解集为[1,)+∞.解法二(首选):|1||3|x x +--的几何意义为到点1-的距离与到点3的距离的差,画出数轴易得1x ≥.解法三:不等式即|1||3|x x +≥-,平方得222169x x x x ++≥-+,解得1x ≥.． 【2011⋅广东理，10】10．72()x x x-的展开式中4x 的系数是 （用数字作答）． 【答案】 84．【解析】题意等价于求72()x x-的展开式中3x 的系数7217(2)k k k k T C x -+=-,0,1,2,3,,7k =,令723k -=得2k =,故所求系数为27484C =．【2011⋅广东理，11】11．等差数列{}n a 的前9项和等于前4项和，若141,0k a a a =+=，则=k ．【答案】 10．【解析】由94S S =得56789750a a a a a a ++++==,4741002k a a a a a +===+,故10k =． 【2011⋅广东理，12】12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 【答案】 2．【解析】 2()363(2)f x x x x x '=-=-,当0x <或2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<，故当2x =时，()f x 取得极小值．【2011⋅广东理，12】13 ．某数学老师身高176cm ，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm 和182cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm ． 【答案】 185．【解析】抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提炼数据(173,170),(170,176),(176,182),易得平均值173,176x y ==,于是1()()3618niii x x y y =--=⨯=∑，21()18nii x x =-=∑，从而1b =，,17611733a =-⨯=，所以线性回归方程为3y x =+，当182x =时，185y =．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）二、填空题：（每小题5分，共25分）【2011⋅广东理，14】14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（0≤θ ＜π )和254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩（t ∈R ），它们的交点坐标为 ． 【答案】25． 【解析】对应普通方程为221(55,01)5x y x y +=-≤≤≤,245y x =,联立方程消去y 得2450x x +-=,解得1x =或5x =-(舍去),于是1x =,25y =,故所求交点坐标为25．【2011⋅广东理，15】15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别做圆的切线和割线交圆于A ，B 两点，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB = ．35【解析】结合弦切角定理易得ABP CBA ∆∆,于是AB PBBC AB=, 代入数据解得35AB =三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011⋅广东理，16】16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin(),36f x x x R π=-∈．(Ⅰ) 求5()4f π的值； (Ⅱ) 设,[0,]2παβ∈，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值． 【解析】 ．(Ⅰ) 5()4f π152sin()2sin 3464πππ=⋅-== (Ⅱ) 因为10(3)2sin()2sin 26613f πππααα+=+-==，所以5sin 13α=，因为26(32)2sin()2sin()2cos ,3625f πππβπβββ+=+-=+==所以3cos 5β=，又,0,,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以12cos 13α==，4sin 5β==，所以1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=． 【2011⋅广东理，17】17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）(Ⅰ) (Ⅱ) 当产品中微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(Ⅲ) 从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）． 【解析】 ．解：(Ⅰ) 乙厂生产的产品数量为598=3514⨯件； (Ⅱ) 样本中满足175x ≥，且75y ≥的产品有2件,故样本频率为25,则可估计乙厂生产的优等品数量为235=145⨯件； (Ⅲ) ξ的可能取值为0,1,2,且23253(0)10C P C ξ===,1132253(1)5C C P C ξ===, 22251(2)10C P C ξ===．【或者22325()i i C C P i C ξ-==(0,1,2)i =】 故ξ的分布列为x yzMξ的数学期望3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【2011⋅广东理，18】18．（本小题满分13分）如图，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DBA ∠=，2PA PD ==，PB=2，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ) 证明：AD ⊥平面DEF ； (Ⅱ) 求二面角P AD B --的平面角． 【解析】 ．(Ⅰ)取AD 的中点G ，又P A =PD ，PG AD ∴⊥，由题意知ΔABC 是等边三角形，BG AD ∴⊥， 又PG , BG 是平面PGB 的两条相交直线，AD PGB ∴⊥平面，//,//EF PB DE GB ， //DEF PGB ∴平面平面， AD DEF ∴⊥平面(Ⅱ)由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，22172()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，22221cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅．另解：（Ⅰ）连接AE ，BD ，因为ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒， E 是BC 的中点，所以,ABD BCD ∆∆均为正三角形， 且31,12022DE BE ABE ==∠=︒， 所以22272cos 4AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠=所以22237144AD DE AE +=+==，从而AD DE ⊥，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，因为PA PD =，BA BD =，所以 ,PM AD BM AD ⊥⊥,又PM BM M =，所以AD ⊥平面PBM ，所以AD PB ⊥，在BCP ∆中，因为,E F 分别是,BC PC 的中点，所以//EF PB ，所以AD EF ⊥又EF DE E =，所以AD ⊥平面DEF .（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知BMP ∠为二面角P AD B --的平面角,易得BM =PM ==,在BPM ∆中,2PB =,由余弦定理得222cos 27BM PM PB BMP BM PM +-∠==-⋅所以二面角P AD B --的余弦值为7-．解法二:先证明DF ⊥平面ABCD ，即证明DF DE ⊥即可，在Rt PBC ∆中，PC =PDC ∆中，cos DCP ∠==所以在FDC ∆中，22211214DF =+-⨯=，12DF =．在DEF ∆中，22221(124DE DF EF +=+==，故DEF ∆为直角三角形，从而DF DE ⊥.建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则1(0,0,0),(1,0,0),(,22D A P --,所以1(1,0,0),(,22DA DP ==--,设平面PAD 的一个法向量为,,x y z =1()n ，则 00DA DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n，从而01022x x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得02x z y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2y =得=1(n显然平面DAB 的一个法向量为0,0,1=2()n ，从而cos ,|||⋅<>==121212=n n n n |n n ，所以二面角P AD B --的余弦值为7-． 【2011⋅广东理，19】19．（本小题满分14分）设圆C与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切． (Ⅰ) 求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (Ⅱ) 已知点M F ,且P 为L 上动点，求MP FP-的最大值及此时点P 的坐标． 【解析】 ．（Ⅰ）设圆C 的圆心为(,)C x y ，半径为r，圆22(4x y ++=的圆心为1(F ,半径为2；圆22(4x y +=的圆心为2F ,半径为2；依题意,有12||2||2CF r CF r =+⎧⎨=-⎩或12||2||2CF r CF r =-⎧⎨=+⎩，所以1212||||||4||CF CF F F -=<=．所以圆C 的圆心轨迹L 是以原点为中心,焦点在x 轴上,焦距为2c =实轴长为24a =的双曲线,因此2a =,1c b ==,故轨迹L 的方程为2214x y -=. （Ⅱ）易得过点M (,55F 的直线l的方程为2(y x =-,联立方程22142(x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y得215840x -+=,解得12x x ==, 则直线l 与双曲线L的交点为12P P , 因为1P 在线段MF 外,所以11||||||||2MP FP MF -===, 因为2P 在线段MF 内,所以11||||||||MP FP MF -<, 若点P 不住MF 上,则||||||||MP FP MF -<,综上, MP FP -的最大值为2,此时点P的坐标为. 解析二：(Ⅰ) 两圆半径都为2，设圆C 的半径为R，两圆心为1(0)F、20)F ，由题意得12||2||2R CF CF =-=+或21||2||2R CF CF =-=+，1212||||||4||CF CF F F ∴-=<=，可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，设方程为22221x y a b -=，则22224,2,1,1a a c b c a b ====-==，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．(Ⅱ) ∵||||||||2MP FP MF -≤=，仅当(0)PM PF λλ=>时，取＂＝＂， 由2MFk =-知直线:2(MF l y x =-，联立2214x y -=并整理得所以||||||MP FP -最大值等于2，此时(55P ． 【2011⋅广东理，20】20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足,1a b =11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．【解析】 ．（Ⅰ）由1122n n n nba a a n --=+-得1211n n n n a b a b --=⋅+, 当2b =时,1112n n n n a a ---=, 所以{}n n a 是以首项为1112a =,公差为12的等差数列, 所以11(1)222n n nn a =+-⋅=,从而2n a =. 当2b ≠时, 11211()22n n n n a b b a b --+=+--,所以1{}2n n a b +-是首项为11122(2)a b b b +=--，公比为2b 的等比数列,所以11222()2(2)(2)nn nn n a b b b b b b -+=⋅=---， 从而(2)2n n n nnb b a b -=-.综上所述，数列{}n a 的通项公式为2,2(2),22n n n nb a nb b b b=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩（Ⅱ）当2b =时,不等式显然成立；当2b ≠时,要证1112n n n b a ++≤+,只需证11(2)122n n n n n nb b b b ++-≤+-,即证 11122(2)2n nn n n n b n b b b +++-⋅⋅≤+⋅- (*)因为1111122312(2)(2)(222)2n n n n n n n n n n b b b b b b b ++++-----+⋅=+++++- 1122222111(222)(22)n n n n n n n n n b b b bb +-+---+=+++++++ 1112121222[()()]222n n n n nn n n b b bb b bb --++=+++++++21122311222[()()()]2n nn n n n b b b b b b -++=++++++11111222)2(111)22n n n n n nn n n n b b b n b b -++++≥+⋅=+++=所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；综上所述，当0b >时，对于一切正整数n ,11 1.2n n n b a ++≤+解析二：(Ⅰ) 解法一：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设n n n b a =，则121n n b b b b-=⋅+(2)n ≥， （ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a =（ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122(1)n n b b b bλ-=⋅+-，令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b-∴+=⋅+--(2)n ≥，知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -∴+=+⋅--，又11b b =，12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n nnb b a b-∴=-． 解法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a =（ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-．(Ⅱ)（ⅰ）当2b =时， 112212n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；（ⅱ）当2b ≠时，22122n n n n b b ++≥=，21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥=，以上n 个式子相加得 2212n n b b -+⋅+111122n n n n b b +--++⋅+⋅+2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n nb b b b b b b --++⋅++⋅+--⋅-=- 2121111(2)222(2)n n n n n n n n n b b b b +++++--⋅+⋅=- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n nb b b b +++++-⋅+⋅-=-1112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．【2011⋅广东理，21】21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -≥，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{||,||}p q x x ϕ=．(1) 过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0||(,)2p p q ϕ=；(2) 设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240,0a b a ->≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ，证明：112||(,)||||(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；(3) 设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-，当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．【解析】 ．（Ⅰ）因为12y x '=,所以001|2x p y p ='=,过点A 的切线方程为200011()42y p p x p -=- 即20024p p y x =-,从而20(0,)4p B -,又(,)Q p q 在直线AB 上,故20024p p p q =-,其中00||||p p ≤≤所以方程为2200024p p p x px -+-=,解得012p x =,022px p =- 由于00||||p p ≤≤,且0,p p 同号,所以0021||||||||22p px p x =-==,所以0(,).2p p q ϕ= （Ⅱ）过点(,)M a b 且切点为2111(,)4E p p 的L 的切线1l 方程为EF :21124p p y x =- 因为(,)M a b 1l ∈,所以21124p p b a =-且10||||a p <<,因为2221(,)4E p p ', 所以22112221()4242ME p p p a p k p a '--==-,即22112221()()4242p p p p a p a --=- 即2212124422p p p p a a -=-,所以22121212()()0442222p p p p p pa -=+--=,所以212p a p =- 因为10||||a p <<,且1,a p 同号,所以21111|||2||2|||p a p p p p =-<-=反之也成立,所以(,)M a b ∈X ⇔12||||p p >, 由（Ⅰ）可知,(,)M a b ∈X 1||(,)2p a b ϕ⇒=,反之,逆推也成立,所以(,)M a b ∈X 1||(,)2p a b ϕ⇔=， 综上,(,)M a b ∈X ⇔12||||p p >⇔(,)a b ϕ12p =. （Ⅲ）此题即求当点(,)p q 取遍D 时,方程20x px q -+=的绝对值较大的根的最大值与最小值,解方程得x =,因为215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-,令2151(1)44x x -=+-,解得0x =或2x =，所以02p ≤≤，(,)p q ϕ=，因为(,)p q D ∈，所以215(1)144p q p +-≤≤-，于是2(1)5444p q p +-≤≤-，所以22(2)424p p q p -≤-≤-+，所以(,)p q ϕ=，则221115()()1(1)4244f p g t t t t ==-++=--+，所以5()[1,]4f p ∈．综上，当2,1p q ==或0,1p q ==-时，min 1ϕ=；当35,216p q ==时，max 54ϕ=．(Ⅲ) 联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤，过点(,)pq 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得200240x px q -+=，解得0x p=+又215(1)44q p ≥+-，即2442p q p -≤-， 0x p ∴≤t =，20122x t t ∴≤-++215(1)22t =--+，0max max ||2x ϕ=，又052x ≤，max 54ϕ∴=； 1q p ≤-，0|2|2x p p p ∴≥+=+-=，∴0min min ||12x ϕ==． 解析二：(1) 00011'|()|22AB x p x p k y x p =====， 直线AB 的方程为200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-， 2001124q p p p ∴=-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ∆=-=-， 两根001,2||22p p p p x ±-==或02pp -，00p p ⋅≥，00||||||||22p pp p ∴-=-，又00||||p p ≤≤， 000||||||||222p p p p ∴-≤-≤，得000||||||||||222p p pp p ∴-=-≤，(,)||2p p q ϕ∴=． (2) 由240a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，①当0,0a b >≥时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >≥，得12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>． ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；(,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>， 综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>（*）；由（１）知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12pa -， 同理点M 在直线E F ''上，方程20x ax b -+=的两根21,22p x =或22p a -， 若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -、2||2p 、2||2pa -小， 12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M ab X ⇒∈，1(,)||2p a b ϕ∴=⇒(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)||2pa b ϕ⇒=； 1(,)||2p a b ϕ∴=⇔(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证． (3) 联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤， 过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得200240x px q -+=，解得0x p =+又215(1)44q p ≥+-，即2442p q p -≤-，0x p ∴≤t =，20122x t t ∴≤-++215(1)22t =--+，0max max ||2x ϕ=，又052x ≤，max 54ϕ∴=；1q p ≤-，0|2|2x p p p ∴≥+=+-=，min min ||12x ϕ∴==．。