等腰三角形常用辅助线专题练习
1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC, AD二AE,求证：BD=CEo
证明：作AF_LBC,垂足为F,则AF±DEo VAB=AC, AD=AE
又VAF±BC , AF±DE, ABF=CF, DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。

..・BD=CE.
2.如图，在三角形ABC中，AB二AC,AF平行BC于F, D是AC边上任意一点，延RBA到E,使AE=AD,连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由
解：AF1DE.理由：延长ED 交BC 于G, VAB=AC, AE=AD /. ZB=ZC, ZE=ZADE A ZB+ZE=ZC+ZADE V ZADE=ZCDG A ZB+ZE=ZC+Z CDG VZB+ZE=ZDGC,
ZC+ZCDG=ZBGE, ZBGE+ZCGD=180° AZ BGE=ZCGD=90° AEG±BC. VAF/7BC
AAF±DE.
E
解法2：
过A 点作AABC 底边上的高，
BC 证明 AF±DE
3.
如图,
A ABC 中，BA=BC,点D 是A
B 延长线上一点，DF±A
C 交BC 于
E,求证： A DBE 是等腰三角形。

证明：在AABC 中， VBA=BC, A ZA=ZC, VDF1AC,
A ZC+Z
FEC=90° , ZA+ZD=90° , :. ZFEC^ZD V ZFEC^ZBED,
ZBED=
4.如图，AABC中，AB二AC, E在AC ±,且AD=AE, DE的延长线与BC相交于F。

求证：DF_LBC.
证明：VAB=AC, AZB=ZC, 又VAD=AE, A ZD=ZAED,
若把“AD=AE”与结论“DF_LBC”互换，结论也成立。

若把条件"AB=AC”与结论“DF_LBC”互换，结论依然成立。

证明：连接AC, AD
「・AC= AD
ADM (HL)
・・・CM=DM
6.如图，已知AD是^ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：BF=AC 证明：过B点做AC的平行线，交AD的延长线于G点
•「AD 为中线,ABD=CD ・.・BG 平行于AC, A ZFGB=ZCAF, ZDBG=ZACD 在△AFE和△ GFB 中，..・NFGB=匕CAF, ZGFB=ZAFE AAAFE^AGFB ・.・ZFGB=ZFAE
ZDBG=ZACD, BD=CD, ZBDG=ZCDA AAADC^AGBD「.BG二AC ・.・BF=AC
7.已知：如图，△ABC(ABKAC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF〃BA,交AE 于点F,DF=AC,求证：AE 平分ZBAC
证明：延R AE,过D作DM II AC交AE延长线于M A ZM=Z1, ZC=Z2在
△DEM 与ACEA 中ZM=Z1, ZC=Z2, DE=CE A ADEM^ACEA「.DM二CA 又DF=CA, .\DM=DF, A ZM=Z3 VAB II FD, A Z3=Z4, AZ4=Z1「.AE 平分ZBAC
£线于M
8.已知：如图，ZXABC 中，AB=AC,在AB 上取一点D,在 延长线上取一 点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 中点。

求 证：BD=CE
证明：过 D 作 DF 〃AC 交 BC 于 F, VDF/7AC （已知），A ZDFC=ZFCE, ZDFB=ZACB （平行线的性质）VAB=AC （已知），/. ZB=ZACB （等
边对A
C
等角），AZB=ZDFB （等量代换），.・・BD=DF （等角对等边）, VBD=CE （已知）,:.DF=CE （等量代换），VZDFC=ZFCE, ZDGF=ZCGE （已证），AADFG^AECG （AAS）, ・.・DG=GE （对应边相等）
9.已知：如图，在AABC 中，AB=AC=CE, B 是AD 上一点，BE_LCB 交CD 于E,AC_LDC,求证：BE=1/2BC
证明：过点A作AF1BC交BC于点F
•「△ABC 是等腰三角形，AB=AC, ZABF=ZACF— (1) AAF 是BC 上的
垂直平分线，AF±BC, BF=CF=BC/2 ................. (2) VBE±BC, ABE//AF
ZDBE=ZBAF ................................................................... (3) V ZCBE=90° A ZDBE+
BF=EB ......................................................... (6) 由(2)和(6)知道：BE=BC/2
10.如图，AD为^ABC的角平分线，M为BC的中点，ME〃DA交BA延R 线于E,求证：BE=CF=l/2 (AB+AC)
证明：(1)延REM,使EM=MG,连接CG
「•BE=CG, ZE=ZG
•「AD 平分ZBAC , A ZBAD=ZCAD VME//DA, A ZBAD=ZE, ZCAD=ZAFE
11.如图，已知AABC中,AD±BC, ZABC=2ZC.试说明AB+BD=CD的理由。

证明：在DC 上截取DE=BD,连接AE VAD±BC, A ZADB=ZADE=90° AD=AD
ARTAADB^RTAADE (SAS) AAB=AE , ZABC=ZAEB VZAEB=ZC+ZEAC V ZABC=2 ZC (已知)ZEAC=ZC AAE=CE , AAB=CE CD=CE+DE ,「.AB+BD=CD
12.已知：如图，AD是AABC的角平分线，且AOAB+BD.求证：ZB=2 ZC. 证明：在AC 上作AE=AB,连结DE VAC=AB+BD=AE+CE , ABD=CE ,/
AD 是角平分线，二匕BAD=ZEAD 又VAB=AE, AD=AD AAABD^AEAD
即：NB = 2NC
A
AC=AB+BD.
证明：延长AB到E,使AC=AE,连接DE
VAD是ZBAC的角平分线A ZBAD=ZDAC （角平分线的定义）L•公共边AD=AD AC=AE ZBAD=ZDAC A AACD^AAED （SAS） A ZACB=ZDEA
BD二BE （等角对等边）
A
14.如图，点E是等边Z\ABC内一点，且EA=EB, AABC外一点D满足BD 二AC,且BE 平分ZBDEo 求ZBDE 的度数解：连接CE, VAC=BC, AE=BE, CE 为公共边，・.・ ABCE^AACE, 「・ZBCE=ZACE=30°又VBD=AC=BC, NDBE二匕CBE, BE 为公共边，ABDE^ ABCE, ZBDE=ZBCE=30°
求证：BD+DC=AD. A
提示：证明△ ABE^ABCD即可E B C
16.已知：如图，Z^ABC中，ZC=90° , CM±AB于虬AT平分NBAC交CM 于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E, 求证：CT=BE
证明1：作DF〃BC交AB于F,则：
ACD, AF=AC连接TF VAF=AC, AT为匕BAC的角平分线,AT为公共边
△ACT#△AFT, TF_LAF, TF〃CM LDF〃CT〃BE, TF〃CD, DE〃BF 二四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形.*.CT=DF=BE
C I E B
证明2：作TF±AB 于F,贝lj ：•「ZCDT=ZADM=90° -ZDAM=90° -ZDAC=
AC ± TC ... CT=TF=CD V DE // BF, TF // CD, .•- ZDEO ZB, ZDCE二ZFTB。