导数的概念和运算【考纲要求】1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2.掌握常函数y=C ，幂函数y=x n （n 为有理数），三角函数y=sinx ，y=cosx ，指数函数y=e x ，y=a x，对数函数y=lnx ，y=log a x 的导数公式；3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。

4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。

【知识网络】【考点梳理】考点一：导数的概念： 1．导数的定义：对函数()y f x =，在点0x x =处给自变量x 以增量x ∆，函数y 相应有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-。

若极限0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限称为()f x 在点0x 处的导数，记作0'()f x 或0'|x x y =，此时也称()f x 在点0x 处可导。

即：00000()()()x x f x x -f x yf 'x limlim x x∆→∆→+∆∆==∆∆（或0000()()()x x f x -f x f 'x lim x -x →=）要点诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数。

函数的导数与在点0x 处的导数不是同一概念，0'()f x 是常数，是函数'()f x 在0x x =处的函数值，反映函数()f x 在0x x =附近的变化情况。

要点诠释：函数的导数与在点0x 处的导数不是同一概念，0'()f x 是常数，是函数'()f x 在0x x =处的函数值，反映函数()f x 在0x x =附近的变化情况。

3．导数几何意义： 导数的概念和运算导数的概念导数的运算初等函数的求导公式 导数的运算法则 复合函数求导（1）曲线的切线曲线上一点P(x 0，y 0)及其附近一点Q(x 0+△x,y 0+△y)，经过点P 、Q 作曲线的割线PQ ，其倾斜角为==.PQ yk tan xββ∆∆，则有当点Q(x 0+△x,y 0+△y)沿曲线无限接近于点P(x 0，y 0)，即△x →0时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

若切线的倾斜角为α，则当△x →0时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。

即：0000y==x x x f (x x )-f (x )tan limlimxα∆→∆→+∆∆∆∆。

(2)导数的几何意义：函数()y f x =在点x 0的导数0'()f x 是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

要点诠释：①若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直。

②0'()0f x >，切线与x 轴正向夹角为锐角；0'()0f x <，切线与x 轴正向夹角为钝角；0'()0f x =，切线与x 轴平行。

(3)曲线的切线方程如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为：))(()(00/0x x x f x f y -=-。

考点二：常见基本函数的导数公式 （1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x=（8）()log a f x x =，1'()log a f x e x=考点三：函数四则运算求导法则 设()f x ，()g x 均可导（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 考点四：复合函数的求导法则'''x u x y y y =⋅或'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅即复合函数[()]y f x ϕ=对自变量x 的导数'x y ，等于已知函数y 对中间变量()u x ϕ=的导数'u y ，乘以中间变量u 对自变量x 的导数'x u 。

要点诠释：选择中间变量是复合函数求导的关键。

求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。

求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

【典型例题】类型一：导数概念的应用例1、用导数的定义，求函数()y f x==x=1处的导数。

【解析】∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-=-===∴y x ∆=∆ ∴01'(1)lim 2x y f x ∆→∆==-∆。

举一反三：【变式】已知函数1y x=（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线1y x =7(4,)4P -处的切线方程。

【答案】（1）0011(2)(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x∆→∆→-+∆-+∆==∆∆0112)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=∆0lim x ∆→=15lim 4(4)16x x ∆→⎛-==- +∆⎝， （2）由导数的几何意义知，曲线在点7(4,)4P -处的切线斜率为'(4)f ，∴所求切线的斜率为516-。

∴所求切线方程为75(4)416y x +=--，整理得5x+16y+8=0。

例2、求曲线y=x 3+2x 在x=1处的切线方程. 【解析】设3()2f x x x =+.0(1)(1)'(1)limx f x f f x∆→+∆-=∆330(1)2(1)(121)lim x x x x ∆→+∆++∆-+⨯=∆ 20[()35]lim x x x x x∆→∆∆+∆+=∆20lim[()35]x x x ∆→=∆+∆+5= 由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y ―3=5(x ―1)，即y=5x ―2. 举一反三：【高清课堂：导数的概念和运算394565 典型例题五】【变式】过(1,0)点，曲线3y x =的切线方程为 。

【答案】设所求切线的切点坐标为P （x 0，y 0），则切线斜率为203k x = 则所求切线方程为230003()y x x x x =-+，又因为切线过(1,0)点，代入，00x =或032x =所以切线方程为0y =或274270x y --= 类型三：利用公式及运算法则求导数 例3．求下列函数的导数：（1）41y x=； （2）y （3）222log log y x x =-； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4【解析】 （1）44154514'()'()'44y x x x x x----===-=-=-.（2）332155533'()'55y x x x --=====（3）∵2222log log log y x x x =-=，∴21'(log )'ln 2y x x ==⋅. （4）322'2()'3()'5()'(4)'665y x x x x x =-++=-+ 举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）y = （2）22sin(12cos )24x x y =-- （3）y=6x 3―4x 2+9x ―6【答案】（1）331223'(()'2y x x -====（2）22sin(12cos )24x x y =--22sin (2cos 1)24x x =-2sin cos sin 22x xx == ∴'cos y x =.（3）322'6()'4()'9()'(6)'1889y x x x x x =-+-=-+ 例4．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-；（2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ； （４）y=x x xx sin cos ++【解析】（1）法一：去掉括号后求导.32()2323f x x x x =-+- 2'()662f x x x =-+法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'f x x x x x =+-++⋅-=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2 （2）y ′=（x 2）′sinx ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx（３）2(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)x x x x x y ''+--+-=-2)1(e e 2--x x（4）2(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )x x x x x x x x y x x ''++-++=+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+-=2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+-- 举一反三：【变式1】下列函数的导数（1）2(1)(231)y x x x =++-； （2）y =【答案】（1）法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x∴26102y x x '=++法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x 26102x x =++ （2）231212332----+-=x x xx y∴252232123233---+-+='x x x x y【变式2】求下列函数的导数.（1）2311()y x x x x =++； （2）1)y =-；（3）52sin x x y x =. 【答案】 （1）321y x x-=++，∴23'32y x x -=-.（2）1122y x x-===-，∴312211'22y x x --=--.（3）∵3322sin y x xx x --=++，∴522223'3()'sin (sin )'2y x x x x x x ---=-++52322332sin cos 2x x x x x x ---=--+.类型四：复合函数的求导问题 例5．求下列函数导数. （1）41(13)y x =-； （2）ln(2)y x =+；（3）21e x y +=； （4）cos(21)y x =+.【解析】（1）4y u -=，13u x =-.4'''()'(13)'x u x y y u u x -=⋅=⋅-5554(3)1212(13)u u x --=-⋅-==-. （2）ln y u =，2u x =+∴'''(ln )'(2)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 1112u x =⋅=+ （3）e uy =，21u x =+.∴'''(e )'(21)'ux u x y y u x =⋅=⋅+212e 2eu x +==（4）cos y u =，21u x =+，∴'''(cos )'(21)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 2sin 2sin(21)u x =-=-+. 举一反三：【变式1】求下列函数的导数：(1)82)21(x y +=； （2）33x x y +=（3）y=ln （x ＋21x +）； （4）()(cos sin )xf x e x x -=+【答案】(1)令212u x =+,8u y =,.)21(3248)21()(72728x x x u x u u y y x u x +=⋅='+'=''='∴（2）令,,3131u y x x u =+=.31131)311(31)()(32323132323131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅='+⋅'='∴----x x x x u x x u y x（3）221'(1)'1y x x x x=++++=221(1)11x x xx++++＝211x+（4）'()()'(cos sin )(cos sin )'xx f x ex x x e x x --=⋅-++⋅+(cos sin )(sin cos )xxe x x e x x --=-++-+ (sin cos cos sin )xe x x x x -=-+-- (2sin )x e x -=- 2sin x ex -=-⋅类型五：曲线的切线方程求解问题例6．（2016年新课标Ⅲ卷理）已知()f x 为偶函数，当0x <错误!未找到引用源。