2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解
2017年5月7日8:00——10:00
一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）
1.已知向量()()
1,3,3,1AP PB ==-，则向量AP 与AB 的夹角等于 ．
解一：由题设(1,3)(3,1)0AP PB ⋅=⋅-=，且||||AP PB =，故APB ∆为等腰直角三角形，从而向量AP 与AB 的夹角等于
4
π. 解二：因为(13,31)AB AP PB =+=-+，所以2cos ,2
AB AP <>=，所以向量AP 与AB 的夹角等于
4
π. 2.已知集合()(){}
|10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈∉，则实数a 的取值范围是 ．
解：有题设，知(21)(2)0
(31)(3)0
a a a a -->⎧⎨
--≤⎩
所以：122133
a a a ⎧><⎪⎨⎪≤≤⎩或
所以
11
32
a ≤<或23a <≤
3.已知复数2cos
sin
33
z i ππ
2=+，其中i 是虚数单位，则32z z += ． 解：有题设3
2
664413cos
isin cos isin i 333322
z z ππππ+=+++=-
4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左，右焦点，
P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率
为
．
答案：5．
5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．
答案：3.
6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．
答案：37,.4⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪
⎝⎭
7.若3tan 43x =
，则sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x x
x x x x x x x
+++= ．
答案： 3.
8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动，其中顶点A 保持在z 轴
上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．
答案：6 2.- 9.设数列12321,,,
,a a a a 满足：()111,2,3,
,20n n a a n +-==，1721,,a a a 成等比数列．若
1211,9a a ==，则满足条件的不同的数列的个数为 ．
答案：15099．
10.对于某些正整数n ，分数
2
2
37
n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ．
答案：17. 二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.设数列{}n a 满足：①11a =，②0n a >，③2
*11,.1
n n n na a n N na ++=
∈+ 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；
（2）对如图任意正整数n ，111.n
n k a k
=<+∑
证明：（1）因为211
1111,11
n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-
=++且0n a >， 所以10n n a a +->．所以*1,.n n a a n N +>∈ 所以数列{}n a 是递增数列．
（2）因为111111
,1n n n n n n a a a a na na n
+++++-=<=+
所以当2n ≥时，
()()()112211
11111112
21
1
1.
n n n n n n
k a a a a a a a a n n k ---==-+-++-+<
+++++--<+∑
又1111,a =<+所以对任意正整数n ，11
1.n
n k a
k
=<+∑
12.在平面直角坐标系xOy
中，设椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>，直线:30.l x y a +-=若椭
圆E ，原点O 到直线l 的距离为 （1）求椭圆E 与直线l 的方程；
（2）若椭圆
E 上三点()(),
0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d ， 求证：123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长． 解：（1）由题设条件得222,c
a b c a =⎪⎪=⎨⎪
⎪+=⎪⎪
⎩
，从而2,1.a
b =⎧⎨=⎩
故所求的椭圆2
2:14
x E y +=．直线:60.l x y +-=
（2）设()2cos ,sin P θθ
，则
16d -+==
其中
tan 2.ϕ=
1d ≤≤
又
23
d d =
== 故21.d d >
因为
231
,d d d +=+>≥ 131.d d d ++=>= 所以123,,d d d 可以是某个三角形的三条边的边长．
13.如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ． 求证：四边形1111A B C D 是平行四边形．
O
D 1
C 1
B 1
A 1
S
R
Q
P
D
C
B
A
证明：连接,.PR QS
O
D 1
C 1
B 1
A 1
S
R
Q
P
D
C
B
A
因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆，所以OA 是SAP ∠的平分线，且.AP AS = 在△ASP 中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点． 同理点1B 是线段PQ 的中点，所以11//A B SQ ．
同理1111//A D B C ．
所以四边形1111A B C D 是平行四边形． 14.求满足373x x y y -=-的所有素数x 和.y 解：满足题设条件的素数只有5, 2.x y == 假设5,y ≥则
()7363653
6543654326
5206706152015611.
y y y y y y y y y y y y y y y y y y -≥-≥+-≥++->++++++=+ 所以，()633731,x x x y y y >-=->+即()2
1.x y >+
又因为()()()
37332|111x x x y y y y y y -=-=-++，且x 为素数， 而()2
21111,y y y y y x -<<+<+<+<从而()()()
32\|111,x y y y y -++ 这与73|x y y -矛盾．
所以 5.y <
因为y 是素数，所以2,y =或 3.y =
当2y =时，3120x x -=，即()()
255240,x x x -++=所以 5.x = 当3y =时，343216023 5.x x -==⋅⋅ 所以2,x =或3x =，或 5.x =
经检验，2x =，或3x =，或5x =时，34323 5.x x -≠⋅⋅ 所以满足条件的素数只有5, 2.x y ==。