m
) f (Bi, Fo) x 平板中心的过余温度 0
f (Bi,
x
m t m t
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( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
m ( ) f (Bi, Fo) 0
x

)

x
( x, ) m ( )
1.0
1 Bi 1 0 Bi

x
1.0 0.0 1.0 0.0


x

x
0.0

t x t
不同时刻同一位臵的
( x, ) m ( )
完全一样，意味什么？
辅图特点：横坐标―对数坐标 纵坐标―直角坐标
1 2 1 2
1 2
统一表达式：
( x, ) A exp 12 Fo f 1 0
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三、正规状况阶段的实用计算方法
1.采用近似拟合公式Campo方法 ( x, ) A exp 12 Fo f 1 0 见教材表3-1 、 3-2、3-3 2.采用Heisler图等计算图线 对于无限大平板按如下公式和图3-7、3-8和3-9 计算。 ( x, ) ( x, ) m ( ) 0 m ( ) 0

令
x 4a
erf ( ) 0
说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关 (2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。 (3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。 26/39
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四、求解非稳态导热问题的一般步骤
（1）先校核Bi数是否满足集总参数法条件，若 满足，则优先考虑集总参数法 （2）如不能用集总参数法，则尝试用Campo拟合 公式或Heisler图
（3）若上述方法都不行则采用数值解
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采用分离变量法求解：取
只为 的函数
X ( x) ( )
2
1 d 1 d X a d X dx2
2
只为 x 的函数
只能为常数：
1 d 1 d X const 2 a d X dx
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3.解的结果 x a sin( n ) cos[( n ) ] ( ) ( x, ) 2 e 0 n sin( n ) cos( n ) n 1

x 2 a 0
e
2
x d erf ( ) erf 2 a
erf 称为误差函数 ,查图
3-12和附录15计算。
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误差函数：
erf ( x)
无量纲 坐标
2


x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1
2
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为了求解上的方便，引入过余温度
t ( x, ) t — 过余温度
a 2 x
2
0, t0 -t 0 x 0, x 0
x , - x h
x
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3.3
一维非稳态导热的分析解
当所遇到的非稳态导热问题 Bi>0.1 ，或者研究 目的就是要确定物体内部温度的差异，此时，就不 能将问题简化为集中体来处理了。
本节主要介绍一维非稳态导热分析解的结果， 及由解的结果给出的实际计算方法。
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当Fo>0.2后
平板： 圆柱： 球：
2sin( 1 ) Q ( 1 )2 Fo 1 e Q0 1 sin( 1 ) cos( 1 )
教材P127式（3-32） 教材P127式（3-33）
Q 1 A exp 12 Fo B Q0
统一表达式：
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热常处于正规状况)。Regular regime/fully developed
Fo<0.2则是瞬态温度变化的初始阶段或非正规 状况阶段。
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正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板： 圆柱： 球：
sin( 1 ) ( x, ) x ( ) Fo 2 e cos[( 1 ) ] 0 1 sin( 1 ) cos( 1 ) J1 ( 1 ) ( x, ) 2 x ( ) Fo e J 0 [( 1 ) ] 2 2 0 1 J 0 ( 1 ) J1 ( 1 ) x ( x, ) 2 sin( 1 ) 1 cos( 1 ) ( ) Fo sin( 1 ) e x 0 1 sin( 1 ) 1
1 Bi 辅图 x m
a

m 0 m 0
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（2）已知温度（ ）求时间（τ）： 0
1 Bi 辅图 m x
0
o

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（3）平板吸收（或放出）的热量： 在计算Q0和Bi数、Fo数之后，从图3-9中Q/Q0 查找，再计算出
Q Q＝ Q Q0 0
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5. 适用范围
（1）Fo>0.2, 即要求正规状况阶段级数解只需取 第一项 （2）边界条件为第三类或者第一类 (Bi ∞)
0 0 m m 0 0 11/39
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3. 定义无量纲热量
Q Q0
其中Qτ为0时间内传导的热量（内热能的改变量）
Q0 c 0V 初始时刻至无穷时间内的总传导 热量（物体内能改变总量）
经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：
Q c (t0 t )dx c ( 0 )dx
2 a 2 x
t tw
0, 0
x 0, 0, 0
x , 0, 0
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三、解的结果
1.温度分布
t tw 2 0 t0 t w x 式中: 2 a
Q f (Fo, Bi); Q0 2 c0 — 每m 2平壁t0 t Q0 P130图3-9
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4. 如何利用线算图？
（1）已知时间（τ）求温度（ ）： 0
Fo m 2 主图 0 1 Bi
毕渥数—表示内部导热热阻与表面对流换 热热阻相对大小
Fo , , t x, t 0
x
无量纲距离
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二、非稳态导热的正规状况阶段
当Fo>0.2后，对于上式，只取级数的第一项计算
和完整级数计算误差很小(<1%)。并且平板中任一点
的过余温度与平板中心的过余温度之比只与几何位 臵和边界条件有关，而与时间无关。这表明，初始 条件的影响已消失，通常将这一阶段定义为非稳态 导热过程的正规状况阶段(工程技术关心的非稳态导
（3）边界条件一侧绝热，另一侧为第三类 （4）初始温度均匀
（5）加热或冷却均可
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问题：估算从冰箱中取出5℃的鸡蛋放入95℃的水中加 热，鸡蛋中心温度达到75℃所需时间。
假设：把鸡蛋简化为d=4cm的圆球；鸡蛋中75％为水， 其物性可按照水的值估计 物性：tm＝(5+75)/2=40℃, λ=0.635W/(mK), a=15.3×-8m2/s
一、无限大平板的分析解
1. 物理问题描述 厚度 2 的无限大平壁， 、 a 为已知常数，=0时温度为 t0，突 然将其放臵于侧介质温度为 t 并
保持不变的流体中，两侧表面与
介质之间的表面传热系数为h。
h, t∞
2δ
h, t∞
无限大平壁的两层含义：
(1)平板的长度和宽度远大于其厚度(>10倍) (2)几何尺度相当，但厚度四周绝热良好
2 2sin 2 n n Fo 2 c 0 1 e 2 n 1 n n sin n cos n 2 J m
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二、物理问题和数学描述
一个半无限大物体, 初始温度均匀为t0 ，在 =0
时刻，在x=0的一 侧表面温度突然升高到tw ，并保
持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。
t 2t a x 2 0 t ( x,0) t0 x 0 t (0, ) tw x t ( x, ) t 0
3.4 半无限大(Semi-infinite)物体非稳态导热
问题引出：
考虑地下埋管深度的一个重要因素：考虑 在当地气候变化条件下，埋管处的土壤温度 不致于导致管内流体冻结
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