2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x Y 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) 1、选A (2)若a 实数，且=+=++a i iai则,312B. -3C. 3D. 42、解：因为.4,42)1)(3(2=+=++=+a i i i ai 所以故选D(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； 年我国治理二氧化碳排放显现成效； 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。

3、选D（4）已知向量=•+-=-=则（2),2,1(),1,0(A. -1B. 0C. 1D. 24、选B(5)设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则A. 5B. 7C. 9D. 11 5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.81 B.71 C. 61 D. 51 6、解：如图所示，选D.(7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为 A.35 B. 321 C. 352 D. 347、解：根据题意，三角形ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为D ，则D （1，332）所以， .32137341==+=OD 故选B. (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为A. 0B. 2C. 48、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以a=b=2，故选B.(9)已知等比数列{}=-==24531),1(4,41a a a a a a n 则满足C A. 2 B. 1 C. 21 D. 819、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以，.21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.（10）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144π π10、解：因为A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442=R ππ，故选C.(11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠11、解：如图，当点P 在BC 上时，,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠Θ当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B.（12）设函数的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11)1ln()(2->+-+= A. )1,31( B. ),1()31,(+∞-∞Y C. )31,31(- D. ),31()31,(+∞--∞Y12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x xx x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得Θ故选A.第二卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分（13）已知函数=-=a x ax x f ），则的图像过点（4,1-2)(3。

13、答：a=-2（14）若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+=≤+-≥--≤-+的最大值为则y x z y x y x y x 2,012,012,05 。

14、解：当x=3,y=2时，z=2x+y 取得最大值8. （15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 。

15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为（16）已知曲线x x y ln +=在点（1,1）处的切线与曲线=+++=a x a ax y 相切，则1)2(2。

16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。

时曲线为或解得由联立得与将三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）.2,DC BD BAC AD BC D ABC =∠∆平分上的点，是中，（Ⅰ）求;sin sin CB∠∠ （Ⅱ）若.,60B BAC ∠︒=∠求17、解：（Ⅰ）由正弦定理得,sin sin AB ACC B =∠∠再由三角形内角平分线定理得∴==，21BD DC AB AC .21sin sin =∠∠C B（Ⅱ）︒=∠+∠∴︒=∠120,60C B BAC Θ.30,33tan ,sin 2)120sin(,sin 2sin .21sin sin 1︒=∠∴=∠=∠-︒∴∠=∠∴=∠∠B B B B B C C B 展开得）得由（18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A , B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.B 地区用户满意度评分的频数分布表（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示比较A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知： A 地区评分均值为+++++=分 B 地区评分均值为++++=分A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。

（2）A 地区的用户不满意的概率为++=， B 地区的用户不满意的概率为+=，所以A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。

19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.19、解：（I ）在AB 上取点M,在DC 上取点N ，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF ，即平面α。

（II ）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121=++==EMBB AMEA S S V V20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为2,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.20、解、（I ）如图所示，由题设得,22=a c 又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422=+ba ， 联立解得：.148,4,82222=+==y x C b a 的方程为：所以切线（II ）设A,B 两点的坐标为.,,,,,2211mnk n m M y x y x om =）的坐标为（点）），（（ ,82,8222222121=+=+y x y x 则上面两个式子相减得：.2222121.0)()(22121121221222122nmn m y y x x x x y y x x y y -==⨯-=++-=--=-+-变形得.21)2(1212-=⨯-=⨯--=⋅∴m n n m m n x x y y k k om l （定值）21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 21、解：已知()()ln 1f x x a x =+-..),1()1,0)(00)(0.1)(')1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当+∞>∞+≤-=a a x f a x f a a xx f Θ （II ）由（1）知，当.ln 1)1(1)(0a a af a x x f a --==>时取得最大值在时，函数 .01ln ,22ln 1<-+->--a a a a a 整理得由.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(',00,11',1ln )(）即上述不等式即函数。

又）是增，在（）（则设∈<<∴<=∞+>∴>∴>+=-+=a a g a g g x g x g x a xx g x x x g Θ请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点. （I ）证明EF ∥BC .（II ）若AG 等于⊙O 的半径,且AE MN ==求四边形EDCF 的面积.22、（I ）证明：由切线的性质得AE=AF ，所以△AEF 是等腰三角形，又AB=AC, 所以EF ABC AEF ACAFAB AE ∴∠=∠∴=,,∥.BC （II ）解：,,,R OG OE AG AE OE OE ===⊥Θ则连接 22)32(4,2222=∴=∴+=∴=∴OM R R R R OA ，，.,6030,.31030cos ,5121,321都是等边三角形，AEF ABC BAC BAD AB OE AD AB R AD OD MN MD ∆∆∴︒=∠︒=∠∴⊥=︒=∴=+=∴=∴==ΘΘ ().331660sin 322160sin 3102122=︒⨯⨯-︒⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=∴EBCFS 四边形23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值23.在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值. 解：（I）曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==的直角坐标方程是.032:;0:222221=-+=-+x y x C y y x C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴====.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得C C y x y x （II ）曲线.001），，（的极坐标方程为παρραρ<≤≠∈=R C .465.)3sin(4cos 32sin 2,,cos 32,,sin 2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点AB AB B A παπααααααα=∴-=-=24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明： （I ）若ab cd > ,>（II>a b c d -<-的充要条件.24、证明：（I ）因为(),2,222cd d c dc ab b a b a ++=+++=+）（由题设知..,d c b a cd ab d c b a +>+∴>+=+（II ）（必要性）.4)(4)(,)()(,2222cd d c ab b a d c b a d c b a -+<-+-<--<-变形得则若.1,,d c b a cd ab d c b a +>+>∴+=+）得由（Θ（充分性）若()()22,d c ba d cb a +>++>+则()()()()()..444.,,2222222d c b a d c cd d c ab d c ab b a b a cd ab d c b a cd d c ab b a -<-∴-=-+<-+=-+=->∴+=+++>++∴Θ成立的充要条件。