同济大学概率论与数理统计
=(4+12+36)/3=52/3
例 9.把 n 个球放进 N 个盒子,假定每只球 落入各个盒子是等可能的。试求有球的盒子 数 X 的数学期望。
例 10.某百货公司每年顾客对某种型号电视 机的需求量是一个随机变量 X , X 服从集
合1001,1002, , 2000上的离散型均匀分布。
假定每出售一台电视机可获利 300 元;如果 年终库存积压,那么每台电视机带来的亏损 为 100 元。试问,年初公司应进货多少才能 使年终带来的平均利润最征
主要内容
• 数学期望 • 方差与标准差 • 协方差和相关系数
• 两个不等式 • 中心极限定理
一、数学期望(均值)
• 期望定义 • 常见分布的期望 • 随机变量函数的期望 • 期望的性质
• 引例:
• 某校有3个学生英语考试成绩分别为85、 70、70,求平均成绩。
1
22
(2)
E
g
X
g
x
f
x dx
(3) E g X ,Y
g ai ,bj pij
ij
(4)E
g
X ,Y
g
x,
y
f
x,
y dxdy
• 例3.试分别求下列分布的 E X 2
X ~ P
X ~ Ra,b X ~ E
X ~ N , 2
E X 2 2
E X 2 a2 ab b2 3
(1) Dc 0 ;反之,如果某个随机变量 X 的方 差为 0,那么, P X c 1,其中 c EX ;
x
dx
;
EY
yf x, y dxdy
yfY
y
dy
。
重新计算例5中两个分量的期望。
引进退化分布:把常数 c 看作概率函数为
P X c 1的随机变量 X ,并称 X 服从
参数为 c 的退化分布。
定理 2 设 k 、 l 、 c 都是常数。
(1) E c c ; (2) EkX c kE X c ; (3) EkX lY kE X lE Y ; (4)当 X 与Y 相互独立时, E XY E X E Y 。
E( XY ) xy f x, ydxdy
2
dx
x 2
2x2
y2dy
8
0
0
9
记 X g X,Y (或Y g x, y )则
EX
ai pij ai pi ;
ij
i
EY
bj pij bj p j
或
ij
j
EX
xf x, y dxdy
xf X
• 例6.证明二项分布的数学期望
X ~ Bn, p: EX np
• 证: • ∵ X X1 X2 Xn
X i ~ B1, p,
E( Xi ) p, i 1, 2, , n
• ∴ EX EX1 EX2 EXn
•
np
例7. 设X,Y相互独立,X~参数为2的指数分 布, Y~参数为3的指数分布, 求E(2X+3Y),E(XY)。
E X 2
2
2
E X 2 2 2
例 4.设 X 与Y 的联合概率函数为
XY 1 0 2
-1 1 0 1
6
6
0 0 11
66
1 1 10
66
求 Z 3X 2Y ,T XY 的期望。
例 5.设 X 与Y 的联合密度函数为,
f
x,
y
2 xy 0
0 2y x 2 其余
试求 E XY , E X , E Y 。
一般地,有
EkX lY b kE X lEY b
性质(3),(4)可以推广到任意有限个随机 变量上去。
(1)设随机变量 X X1 X 2 X,n 则
EX EX1 EX2 EXn
(2)设随机变量 Y k1X1 k2 X 2 kn X n c , 则
E Y k1E X1 k2E X2 knE Xn c
i
定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度
函数为
f
x
,当积分
xf
x dx
绝对收敛
时,称
xf
x dx
为随机变量
X
的数学期
望。即 EX xf x dx 。
常见分布的期望
1.0-1 分布 B1, p: EX p
2.二项分布 Bn, p : EX np
3.泊松分布 : EX 4.均匀分布 Ra,b : EX a b
2
5.指数分布 E : EX 1
6.正态分布 N , 2 : EX
• 例1. 设随机变量X~B(5,p),已知
E(X)=1.6,求参数p.
P=0.32
• 例2.设随机变量 X ~ P ,已知
pX 1 1 pX 2, 求EX
2
E(X)=4
随机变量函数的期望
定理 1 (1) E g X g ai pi ; i
x
85 70 3
3
i 1
ai pi
75
定义 1 设离散型随机变量 X 的分布为
P X ai pi , i 1, 2, 。当级数 ai pi
i
绝对收敛时,称 ai pi 为随机变量 X 的数
i
学期望(或均值),记作 E X 。也称为 X 所
服从的分布的期望。即 E X ai pi 。
二、方差与标准差
• 定义 • 常见分布方差 • 性质
定义
定义 3 设 X 是一个随机变量,称
D X E X E X 2 为 X 的方差;
称 D X 为 X 的标准差。
注:(1)方差本质上是随机变量函数
g X X EX 2 的期望; (2)计算时常用公式 DX EX 2 EX 2 。
常见分布方差
1.0-1 分布 B1, p: DX p1 p
2.二项分布 Bn, p : DX np1 p
3.泊松分布 : DX
4.均匀分布 Ra,b :
b a2
DX
12
5.指数分布 E :
DX 1
2
6.正态分布 N , 2 : DX 2
方差性质
定理 3 设 k 与 c 都是常数。
答:E (2X+3Y) =2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E(XY)=E(X) E(Y)=1/6
例8. 设X,Y相互独立,X~R(2,6), Y~R(-1,3)
求E(2X-3Y+3),E(2XY),E(X2). 答:由已知可得 E(X)=4, E(Y)=1,
E(2X-3Y+3)=2E(X)-3E(Y)+3=8; E(2XY)=2E(X) E(Y)=8; E(X2).=(a2+ab+b2)/3