图2质点势能及力与位移的关系
简谐运动的另一个明显特征是振动质点的位移，速度，加速度之间的关系：
这些曲线的方程是：
那么它最大的位移为 ,最大的速度为 ，而最大得加速度为 。
1.3简谐运动中的能量守恒[5]
对于包括简谐运动在的谐运动来说，如果没有耗散力作用在系统上，则系统的总机械能量守恒 。简谐运动的位移由下式给出：
量子谐振子的运动方程为：
为简化书写，令
，
于是方程 化为
当 时，以上方程有渐进解 ，方程的精确解可写作：
2.2量子谐振子能量[6]
将它带入 ，得到 满足的方程：
次方程厄米方程，可用级数法求解，为此令
我们要求 ，否则， 时， 将为无穷。将以上级数代入 ，比较 的系数，可得以下递推公式：
当 于是有
由此得出 和 。当 时， ，于是有
在任何时刻，势能
势能的最大值为 。在运动期间，势能在零和这个最大值之间改变，如图3所示。
图3势能的变化曲线
在任何时刻，动能 为 。利用关系式 与 得到
所以动能具有最大值 或 ，这与先前所说的最大速率 是一致的。在运动期间，动能在零和这个最大值之间改变，总机械能为动能与势能之和:
可见，总能量是恒定的，它具有数值 。在最大位移处，动能为零而势能为 ,在平衡位置，势能为零而动能为 。在其它位置，动能和势能各献的能量之总和为 。图3表明了这个恒定的总能量。作简谐运动的质点的总能量与震动振幅的平方成正比。由图3可以清楚地看出，在一个周期运动的平均动能恰好等于平均势能，并且每个平均值都是 。通常，可将方程 写成 ，由此关系式可得到:
将 代入运动方程得：
所以，如取常数 的数值使得 ，则 实际上就是简谐振子运动方程的解[3]。
如果在式 中将时间 增加一个数值 ，函数 就变成了
所以， 是运动的周期 。因为 ，故有
因此由方程 ,给出的所有运动都有相同的运动周期，并且这周期仅由振动质点的质量 和弹簧的倔强系数 决定。振子的频率 ，是单位时间完全振动的次数，由下式给定
因为要求 ，由此得出 ,否则必须 。在确定 后，根据递推公式 ，可只讨论 ，这时，递推公式变为
1经典谐振子
1.1简谐运动及简谐振子
任何在相等时间间隔重复自身的运动都叫做周期运动，在周期运动中质点的位移总可以用正弦函数和余弦函数来表示，这种周期运动常叫做谐运动，如果做周期运动的质点在同一路线上来回运动，这种运动就叫做振动[1]。
若一质点在平衡位置附近来回振动该质点的势能按下式改变：
式中k是常数，作用在质点上的力为F， 这样振动的质点叫做简谐振子，而它的运动就叫做简谐运动[1]。
经典谐振子与量子谐振子
摘要：本文分别介绍了经典谐振子与量子谐振子的运动，详细分析了简谐振子在经典力学中的运动特点及其运动方程，从运动方程中描述了力、位移、速度及加速度之间的关系并验证了简谐运动的能量守恒。而在量子力学过对谐振子能量的推导及其分析，清晰地看到了谐振子在宏观世界与微观世界的不同。
关键字：经典谐振子；量子谐振子；运动方程；能量
Keywords:classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of motion；energy
引言
简谐振子是力学中一个十分重要的问题,在实际运用发面涉及到的机械运动的大多数问题都可简化为简谐振子的运动问题，而且在声学、光学等许多物理问题中都会出现类似谐振子运动方程的方程。简谐振子显示了许多物理系统的共同特征。
量 叫角频率， 是运动振幅，简谐运动的频率与运动的振幅无关，量 是运动的相位，常数 叫初相位[4]。
简谐振子势能曲线随位移的平方而改变3，作用在质点上的力的大小与位移成正比，但方向与位移相反，振动的两极限位置离开平衡位置的距离是相等的，最大位移的大小叫做简谐运动的振幅。图2描述了质点势能及力与位移的关系。
The Classical Harmonic Oscillator and Quantum Oscillator
Abstract:Inthis paper the classical harmonic oscillator quantum harmonic oscillator with the movementisdescribed, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship betweenverify the conservation of energy for simple harmonic motion.In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.
一个系于倔强系数为k的理想弹簧上并且在光滑水平面上量为m的物体就是简谐振子的一个例子，如图1所示。
图1简谐振动
1.2简谐运动方程及其特点
先将牛顿第二定律 应用到图1的运动中，以 代替 并且将加速度 写成 ,则得
该方程叫做简谐振子的运动方程[2]。根据微积分学，我们知道正弦函数和余弦函数都具有这种性质，这样就可以写出运动方程的尝试解为：
或
这一关系式清楚地表明：在平衡位置x=0处，速率为零。实际上，我们可以从能量守恒的方程出发，通过建方程 积分，而得到最为时间函数的位移。所得结果与式子 完全相同，而式子 是由运动的微分方程 推到出来的[5]。
2量子谐振子
2.1量子谐振子的运动方程
所谓的简谐振子就是一个受弹性力作用的系统，其势能
为弹簧系数， 为振子的经典频率。