第
b a
f
[( x)]( x)dx
一
难求
类
(x) u
换
f (u)du
元
法
易求
b a
f [( x)]( x)dx
第
易求
二
类
u (x)
换
f (u)du
元
难求
法
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
F [ (t )]
dF dx
dx dt
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
2 dx
例1
计算
. ｅ1 1 x
解
原式
2
ｅ1
1 1
x
d(1
x)
1
ｅ
1 t
dt
1
ln t
②
f
(
x
)
为奇函数，则 a a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx 中令x
t
,
0
a
f
( x)dx
0
a
f
( t )dt
a
0
f
( t )dt ,
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
f (sin t)dt
tf (sin t)dt
0
0
0
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
12/25
作业
P154 1 2(1) , (3) , (5)
解 令 x a sin t, 则dx a cos tdt,
x从0变到a, t从0变到π , 2
a a2 x2dx 0 π
2 a cos t a cos tdt 0 π
a2 2 cos2 tdt 0
π
a2 2 cos2 tdt 0
cos 2t 2cos2 t 1
a2
π
2
1
2
2
0
1 [cos2π cos2 0]
22
1 .
2
例3 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
练习. 计算
ｅ
ln1 lnｅ
1.
t 1 x
π
例2
计算 2 sin t cos tdt. 0
解一
2 0
sin
x cos
xdx
1 2
2 0
sin
2
xdx
1
4
0
sin
u
du
1 4
cos
u
0
1 2
解二
π
π
2 sin t cos tdt 2 cos td(cos t)
0
0
π
(cos t)2
f ( x) (t)
f [(t )](t ),
F[(t)] 是 f [ (t)] (t)的一个原函数.
f [(t)](t)dt
F[( )]
F[( )],
F(b)
F (a),
b
a
f
F
(a)
f [ (t)](t)dt.
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也
cos
2t
dt
0
2
d(2t) 2dt
a2
[
π
2 dt
1
π
2 cos 2td(2t)]
20
20
a2
(
π
2 dt
1 sin 2t
π
2)
20
2
0
v 2t
a2 π a2π .
22 4
例 5 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx ；
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
练习 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
例6
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
f (sin x)dx.
0
20
证（1）
x t
2
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
t dt
2 f (cos t )dt 2 f (cos x)dx;
0
0
11/25
x t 0
（2） xf (sin x)dx 0
( t ) f [sin( t )]dt
(
t) f (sint)dt
解: 令 t 2x 1,则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
如何去掉根式？
例4计算 a a2 x2dx (a 0). 三角代换 0
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
则
有 b a
f
(
x
)dx
f [ (t)] (t)dt .