徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合AB 中元素的个数为 ▲ ．2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为 ▲ ．4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素， 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ ．6．若函数4()2x xaf x x -=⋅为奇函数，则实数a 的值为 ▲ ．7．不等式2221xx --<的解集为 ▲ ．8．若双曲线222142x y a a -=-a 的值为 ▲ ．9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13579+10a a a a a +++=，2282=36a a -，则10S 的值为 ▲ ． 10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(1)(2)(2018)f f f +++的值为 ▲ ．S ←0For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S（第4题）11．已知正实数,m n 满足+3m n =，则22+1++1m n m n 的最小值为 ▲ ． 12．已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 13．如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，且4,2,3AB AD BAD π==∠=，E 为BC的中点，若9AE DB ⋅=，则对角线AC的长为 ▲ ．14．若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)已知在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 33A C ==. （1）求tan B ；（2）若227a b +=，求c 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面PAD ； （2）若AD ∥BC ，2AD BC =，E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ．17．(本小题满分14分)AD BCE（第13题）如图（1）是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r 分米的半圆，及矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B ，且椭圆的离心率为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线BP 与x 轴交于点R ，记直线2A Q RQ ，的斜率分别为12k k ，．求证：212k k -为定值．19．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 满足12n n a a ++=，n S 为其前n 项和． （1）若12a =-，求4S ；（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值；（3）数列{}n a 是否能为等差数列？若能，求出满足条件的1a ；若不能，说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R ． （1）若1a =，解关于x 的方程()0f x =； （2）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值；（3）若存在m ，对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，试确定a 的所有可能值．徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =⋅．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵A 的逆矩阵．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=，已知3(1,)2P π，Q 为圆C 上一点，求线段PQ 长度的最小值．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证： 111x y z yz zx xy x y z++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出. （1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X 为选出的4名同学中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，11n n a a -.（1）用数学归纳法证明：1tan 2n n a +π=； （2）求证：122C (1)2C (1)C (1)C (1)0k knn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-≤.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I 参考答案一、填空题1．4 2． 5 3． 1200 4． 45 5．26． 1- 7． (1,2)- 8．1 9．55210． 11．3 12．[13． 14．(,2)-∞-二、解答题15．（1）在ABC △中，由1cos A =，得sin A ==.……………………………………………2分所以sinsin C A <，所以C A <，所以C 为锐角，于是cos 3C ==，…………………………………………4分所以sin tan cos A A A ==，sin tan cos CC C=，……………………………………6分所以tan tantan tan()1tantan A C B A C A C +=-+=-==-………………8分 （2）由,sin sina bA B =可得sin sin 3a A b B ===， ……………………………10分 又227a b +=，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………………………………………………12分所以2222cos 73c a b ab C =+-=-=， 所以c =.……………………………………………………………………………14分（另解：又因为tan tan B C =，角B C ，为ABC △的内角，所以c b ==.） 16．（1）因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥， 又因为PB PD ⊥， 且ADPD D =，AD PD ⊂，平面PAD ，所以PB ⊥平面PAD ，PEABCDFＦ（第16题图）又因为PB ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分 （2）取PD 的中点F ，连结EF ，因为E F ，分别是PA ，PD 的中点，所以//EF AD ，且=2AD EF ，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2AD BC =，所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形， 所以//BE CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD ． …………………………………………………………14分17．（1）由题意可知：232144(2)282r r ar r ar =π+=π+，所以332242284r r a r r -π-π==. ……………………………………2分 又因为2r a r ≤≤r ≤≤…………………………………4分 所以2224(22)42(4)12810y r a r ar r r r ar r r =+++π⨯+π=++π，=2222128104r r r r-π⨯++π=26(87)r r++π， 定义域为.……………………………………………………………6分 （2）令26()(87)f r r r =++π，所以26()(1614)f r r r'=-++π， (8)分令()0f r '=，即26(1614)r r=+π，解之得：r =当r >()0f r '>，函数()y f r =为增函数；当r <()0fr '<，函数()y f r =为减函数. …………………12分r ≤≤()y f r =在上为增函数， 所以当r =.答：当r =. (14)分18．（1）因为椭圆的上顶点为(0,1)B ， 所以1,b c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………2分又222a b c =+，得224,1a b ==，所以椭圆的标准方程是2214x y +=；…………………………………………………4分（2）根据题意，可得直线1:12xA B y =+，直线21:2)A Q y k x =-（，由112(2)x y y k x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分 由122(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22214(2)4x k x +-=，化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=， 因为2A (2,0)，所以2121164241P k x k -=+，所以21212(41)41P k x k -=+，将21212(41)41P k x k -=+代入直线方程得：121441Pk y k -=+， 所以21122112(41)4(,)4141k k P k k --++. ……………………………………………10分 又因为(0,1)B ，所以1211211214141212(41)2(21)041BP k k k k k k k --++==----+， 所以直线1121:12(21)k BP y x k +=-+-，令0y =得，112(21)(0)21k R k -+，.………………12分于是1112111140211=2(21)2(21)242121RQ k k k k k k k k k -- ==++---+，所以1211112=2()242k k k k -+-=，为定值．…………………………………………16分19．（1）由12a =-及12n n a a ++=得，20a =，所以32a =，40a =，所以41234=0S a a a a +++=；…………………………………………………………2分 （2）因为10a >，所以2112||2a a a =-=-，3212||2|2|a a a =-=--，①当102a <时，3112(2)a a a =--=，所以2211(2)a a =-，得1=1a ；②当12a >时，3112(2)4a a a =--=-，所以2111(4)(2)a a a -=-，得1=2a （舍）或1=2a综合①②可知，1=1a或1=2a +6分 （3）假设数列{}n a 是等差数列，则有212||a a =-，312|2|||a a =--，且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=（*） ……………………………………8分 ①当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾；②当102a <时，由（*）得11a =，从而1()n a n *=∈N ，此时数列{}n a 为等差数列； ③当10a 时，可得公差2d =，因此存在2m ，使得12(1)2m a a m =+->，这与12||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知，当且仅当11a =时，数列{}n a 为等差数列. ……………………16分 20．（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，显然(1)0f =，所以1x =是方程()0f x =的一个根．………………………………2分又因为11()1xf x x x-'=-=，且当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而max ()(1)0f x f ==，所以1x =是方程()0f x =的唯一根． ………………………………………………4分（2）因为11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， ①当0a 时，恒有()0f x '>，所以()f x 在[1e]，上单调递增， 所以max ()(e)1+e f x f a a ==-；②当0a >时，当10x a <<时，()0f x '>，当1x a>时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，若1e a ，即10e a <，max ()(e)1+e f x f a a ==-； 若11e a <<，即11e a <<，max 11()()ln 11ln f x f a a a a a ==-+=--；若101a<，即1a ，max ()(1)0f x f ==．综上所述，()f x 在[1e]，上的最大值为 max 11e,,e 1()1ln ,1,e 1, 1.a a a f x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分（3）因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，所以22(1)ln (1)x x ax a x --<-+<- ， （i ）设2()(1)ln g x x x ax a =--+-，则11()2(1)22g x x a x a x x'=--+=-+-，显然()g x '在(1,)+∞单调递增， 所以()(1)=1g x g a ''-，①当1a 时，恒有g (1)0'，所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立，所以()g x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0g x g ，所以1a 符合题意；②当01a <<时，有122(1)g (1)0,()20a g a a a-''<=-=>，所以11(1,)x a∃∈，使得1()0g x '=，从而当11x x <<时，g ()0x '<，即()g x 在1(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0g x g ，不符合题意；③当0a 时，2221()=0x x g x a x--'+<在1(1,2+恒成立， 所以()g x在单调递减，所以()<(1)=0g x g ，不符合题意.综上，()0g x >恒成立时，1a .……………………………………………………13分（ii ）设2()(1)ln h x x x ax a =-+-+，则1()22h x x a x'=+--， ()h x '在(1,)+∞单调递增（建议阅卷忽略，讲评要求证）， 所以()(1)=1h x h a ''-，①当1a >时，有1(1)0,()20h h a a a''<=+->，所以2(1,)x a ∃∈ ，使得2()0h x '=，从而当21x x <<时，()0h x '<，即()h x 在2(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0h x h ，不符合题意； ②当1a 时，有(1)0h '，所以()(1)0h x h ''>在(1,)+∞恒成立， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0h x h 恒成立， 所以1a 符合题意.综合（i ）、（ii ）可知，=1a . …………………………………………………………16分徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案21．A ．连结AC ．…………………………………………………1分因为EA 切圆O 于A ， 所以∠EAB ＝∠ACB ． …………3分因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以∠ACD ＝∠ACB ，AB ＝AD ．于是∠EAB ＝∠ACD ． …………………………………5分 又四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠ABE ＝∠D ． 所以ABE ∆∽CDA ∆．于是AB BECD DA =，即AB DA BE CD ⋅=⋅．………………9分所以2AB BE CD =⋅．…………………………………10分B ．由λ⋅=⋅A αα得：1112222a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，122,44,a b +=-⎧∴⎨-=-⎩3,20,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ ………5分 设1x y st -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1310120102x y s t -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦A A ，（第21-A 题）31,220,30,221,x s s y t t ⎧-=⎪⎪-=⎪∴⎨⎪-=⎪⎪-=⎩1,0,3,41,2x s y t =⎧⎪=⎪⎪∴⎨=-⎪⎪=-⎪⎩1314102-⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ． ……………………………………10分 C ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的直角坐标方程为224410x y x y +---=，即22(2)(2)9x y -+-=， 所以圆心C 的坐标为(2,2)C ，………………………………………………………4分 点P 的直角坐标为(0,1)P -， ………………………………………………………6分 所以线段PQ长度的最小值为33PC -=． ………………………………10分D ．因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， ………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥． ……10分 22．（1）由题意知，所有的选派方法共有2254=60C C ⋅种，其中有3名女生的选派方法共有112412=4C C C ⋅⋅种，所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种. …………3分 （2）X 的可能取值为0,1,2,3. ……………………………………………………5分2242225461(0)6010C C P X C C ====,2122114124222254+4+247(1)6015C C C C C C P X C C ====,1111224122422254+16+611(2)6030C C C C C C P X C C ====,112412225441(3)6015C C C P X C C ====,8分 所以X 的分布列为所以171117()0123101530155E X =⨯+⨯+⨯+⨯= . …………………………………10分 23．（1）将11a =代入121a a得21a =，当1n =时，1tan14a π==成立. 假设当n k =（*k ∈N ，1k ≥）时成立，即1tan2k k a +π=，则当1n k =+时，1k ka +1tan 2k +1211cos 2tan 2sin 2k k k +++π-π==π， 这就说明，当1n k =+时结论也成立．综上所述，1tan2n n a +π=． ……………………………………………………5分 （2）因为11A C C !k kk n nn k k n k --==，所以111C (1)(1)C (1)k k k k n n n n n k a a n a ----=--， 因此122C (1)2C (1)C (1)C (1)k k nn n n nn n n n n a a k a n a -+-++-++-1(1)n n n a na -=-． 由（1）知，1tan (0,1]2n n a +π=∈，所以1(1)0n n n a na --≤，得证．……………10分。