平面向量一、平面向量的基本概念：1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。
向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。
6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②,,a == 则c a =；③,//,//a a //④若CD AB=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量（1）+++ （2）)()()(+++++（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；a +是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则A.0=+PB PAB.0=+PC PAC.0=+PB PCD.0=++PC PB PA例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则2.向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）在平行四边形中，已知以a 、b为邻边的平行四边形中，a -+, 分别为平行四边形的两条对角线，当a a -=+时，此时平行四边形是矩形。
例1.已知86==a，且a a =+ ，则a a -=+ =______例2.设点M 是BC 的中点，点A 在线段BC 外，BC=16-=+____=向量的加减运算：例1.（08辽宁）已知、O A 、B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足+2=0，则=______ A.2- B.—+2C.32—31D.—31+32例2.(15课标全国I ）设D 是三角形ABC 所在平面内一点，CD BC 3=，则______A.3431+-=B.3431-= C.3134+=D.3134-= 例3.（12全国）在ABC ∆中，AB 边上的高为CD ,=a,=b,a •b=0,2,1==b a ,则=______例4.（10全国）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若=a,=b,2,1==b a ，则=________ 例5.在ABC ∆中，设D 为边BC 的中点,E 为边AD 的中点,若=m +n ，则m +n =___例 6.（15北京理）在ABC ∆中，点N M ,满足==,2，若y x +=，则_________==y x例7.（13江苏）设D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，若BC BE AB AD 32,21==，若=1λ+2λ(1λ,2λ为实数)，则1λ+2λ=_________例8.（12东北四市一摸）在ABC ∆中，设P 为边BC 的中点，内角C B A ,,的对边c b a ,,，若c +a +b =0，则ABC ∆的形状为________(三）实数与向量的积：1.定义：实数λ与非零向量a 的乘积aλ是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0=λ时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。
3.运算律：设a 、b是任意向量，μλ,是实数，则实数与向量的积适合以下运算：4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）①如果b a λ= ，则b a // ；若b a // ，0≠b ，则存在唯一的实数λ，使得b a λ=.②若a 、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ,，使________.③若22122111,e e e e a μλμλ+=+= ，21,e 不共线，b a // ，则在有意义的前提下，2121μμλλ= 例1.（15课标全国II ）设向量若a 、b 是两个不平行的向量，向量b a + λ与a 2+平行，则____=λ例2.（09湖南）对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的___A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例3.（12四川）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||=a b a b 成立的充分条件是A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |5.单位向量给定一个向量a ，与a 同方向且长度为1的向量叫做a的单位向量，即_______________ 重要结论：已知ABC ∆，O 为定点，P 为平面内任意一点.①++=0⇔________________________⇔_______________________. ②若=31++，则P 为ABC ∆__________________________ ③若=+λ（+），),0(+∞∈λ，则P 点的轨迹__________________. ④若=+λ_________,),0(+∞∈λ,则P 点的轨迹通过ABC ∆的内心⑤若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ∆的外心 ⑥若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ∆的垂心例1.（10湖北）在ABC ∆中，点M 满足++=0，若存在实数m ，使得+=m ，则m =________. 例2.在ABC ∆中，重心为G ，若0sin 3sin 3sin2=++GC C GB B GA A ，则_____cos =B例3.在ABC ∆中，重心为G ，若033=++GC GB b GA a ，则_____=A 三、平面向量的基本定理(一）平面向量基本定理内容：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使__________________,其中1e 、2e 是一组基底，记作_______._____________叫做向量a关于基底的分解式。
平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。
注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。
例1.（14福建）在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a表示出来的是______ A.)2,1(),0,0(21==e e B.)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21== D.)3,2(),3,2(21-=-=例2.（09安徽）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，BC 的中点，若 μλ+=，则_____=+μλ （二）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用设B A ,是直线l 上两点，O 是直线外一点，对于直线上任意一点P ，存在R t ∈，使___________________________成立.反之，满足上式的点P 在直线l 上. 特别地，当P 为B A ,的中点时，则_________________________.例1.已知、O A 、B 是平面内的三个点，线段BA 的延长线上有一点C ，满足3+=0 则=____A.3-2B.—2+3C.23—21 D.—21+23 例2.数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若平面上的三个不共线的向量、、满足=1a +2006a ，且C B A ,,三点共线，则_____2006=S例3.已知向量j i ,不共线，且=j m i +，j i n+=，若D B A ,,三点共线，则实数n m ,应满足的条件_____A.1=+n mB.1-=+n mC.1=mnD.1-=mn例4.（07江西）如图，在ABC ∆中，设O 为边BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 于不同两点N M ,.若=m ，=n ，则m +n =___mn 的最大值为_______例5.在ABC ∆中，设M 为边BC 的任意点，N 为AM 中点，=λ+μ，则λ+μ=_____. 例6.在ABC ∆中，设M 为边BC 的中点，N 为AM 中点，=λ+μ，则λ+μ=_____.例7.如图，在ABC ∆中，设D 为边BC 的中点，G 为AD 中点，过G 任作一条直线MN 分别交AB 、AC 于N M ,两点，若=x ，=y ，试问11+是否为定值？四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算： （一）向量的正交分解与向量的直角坐标1.向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直；2.向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。
3.在平面直角坐标系下，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量a，有且只有一对实数x,y ，使得21e y e x a +=.有序数对),(y x 叫做a的坐标，记作),(y x a =注意：（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。
（2）符号),(y x 有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。
（二）向量的坐标运算1.若),(),,(2211y x b y x a == ，则_______________=±b a.2.若),(),,(2211y x B y x A ==，则=_______________||=__________________3.若R y x a ∈=λ),,( ，则____________=aλ4.若),(),,(2211y x b y x a == ，b a //,则有________________.5.三角形ABC 的重心坐标公式为____________________________五、平面向量的数量积： 1.平面向量数量积的定义①向量b a,的夹角已知两个非零向量b a ,，过点O 作b OB a OA ==,，则(θ=∠AOB ________),叫作向量b a,的夹角.当________________时，a 与b垂直，记作_________.当________________时，a 与b平行或共线.注意：理解什么是两向量的夹角？以及两向量夹角的范围。