专训1应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起．
加截线（连接两点或延长线段相交）
1．【中考·河北】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（）
A．120°B．130°
C．140°D．150°
（第1题）
过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
（第2题）
b．“”形图
3．（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数；
（2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明
理由；
（3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
（第3题）
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
（第4题）
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
（第5题）
e．“”形图
6．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
（2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
（第6题）
平行线间多折点角度问题探究
7．（1）在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？
（第7题）
答案
1．C
2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.
∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
(第2题)
3．解：(1)过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD ＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴∠BCD ＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.
(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF －∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.
点拨：已知图形中有平行线和折线时，常过折点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．
(第4题)
(第5题)
5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE ＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF ＝72°.
6．解：(1)过E点向左侧作EF∥AB，则∠B＋∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°－∠B＝50°，又∵AB∥CD，且EF∥AB，
∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C＝30°，
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过E点向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C，
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°，
即∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
(第7题)
7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠E n＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠F n－1＋∠D.。