0.8
1
图5-5
x 2 的隶属函数
图5-6
模糊逼近
图5-7 逼近误差
5.2
间接自适应模糊控制
5.2.1 问题描述 考虑如下 n 阶非线性系统：
ɺ ɺ x ( n ) = f x , x , ⋯ , x (n −1 ) + g x , x , ⋯ , x ( n −1 ) u
(
)
(
)
(5.7)
其中 f 和 g 为未知非线性函数， ∈ R n 和 y ∈ R n 分别为 u 系统的输入和输出。 设位置指令为 y m ，令
(5.14)
2. 自适应模糊滑模控制器的设计 采用模糊系统逼近 f 和 g ，则控制律（5.9）变为
u= 1 ( ˆ − f (x θ f ) + y mn ) + Κ T e ˆ g (x θ g )
[
]
(5.15)
ˆ f (x | θ f ) = θ T ξ (x ) , f
T ˆ g (x | θ g ) = θ g ξ (x )
1
0.8 Membership function
0.6
0.4
0.2
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 x1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图5-4
x1 的隶属函数
1
0.8 Membership function
0.6
0.4
0.2
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 x2
0.2
0.4
0.6
i1 A 1
i2 A
(x 2 )
∑ ∑
µ
i1 = 1 i 2 = 1
i1 A
( x 1 )µ
i2 A
(x 2 )
(5.6)
该模糊系统由 11 × 11 = 121 条规则来逼近函数 g (x )
二维函数逼近仿真程序见chap5_2.m。x1 和 x 2 的隶属 函数及 g (x ) 的逼近效果如图5-4至5-7所示
1 2
设计过程中，还必须知道 g ( x )在
(i1 = 1,
2, ⋯, N1 , i2 = 1, 2, ⋯, N2 )
∂g x1
和
∞
∂g x2
。同时，在
∞
i x = ( e 1i1 , e 22 )
处的值。
5.1.3 仿真实例 实例1 实例 1 针对一维函数 g (x )，设计一个模糊系统 f (x ) ，使
u
来消除其非线性的性质，然后再根据线性控制理论
设计控制器。
5.2.2 控制器的设计 如果 f (x ) 和 g (x) 未知，控制律（5.9）很难实现。可 采用模糊系统 fˆ (x ) 和 g (x)代替 f (x ) 和 g (x) ，实现自适应模 ˆ 糊控制。
1. 基本的模糊系统 以
ˆ f xθ f
(5.16)
T 其中 ξ (x ) 为模糊向量，参数 θ T 和 θ g 根据自适应律而 f
变化。
设计自适应律为：
θɺ f = −γ 1e T Pbξ (x )
θɺg = −γ 2 e T Pb η (x )u
(5.17) (5.18)
自适应模糊控制系统如图5-8所示。
图5-8 自适应模糊控制系统
∑
31
µ
j =1
j A
(x )
1
0.8 Membership function
0.6
0.4
0.2
0 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图5-1
隶属函数
一维函数逼近仿真程序见chap5_1.m。逼近效果如 图5-2和5-3所示：
1
0.5 Approaching
0
-0 . 5
-1 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图5-2
( )来逼近 f (x)为例，可用两步构造模糊系统：
( i = 1,2,⋯ , n )，定义 p i 个模糊集合 A1l1 x1
n
步骤1：对变量
( li = 1,2,⋯, pi )。 步骤2：采用以下 ∏ pi 条模糊规则来构造模糊系统：
i =1
R( j) :
其中 li
IF xi is A1l and ⋯ and x n is Ail ˆ THEN f is E l1⋯ln
e e, ⋯, e (n −1)
(
)
T
(5.8)
选择 k = (k n ,⋯, k1 )T，使多项式 s n + k1 s (n −1) + ⋯ + k n 部都在复平面左半开平面上。 取控制律为
u∗ = 1 (n) − f (x ) + y m + Κ T e g ( x)
3. 稳定性分析 由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系统的 闭环动态 令：
1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ Λ= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 − kn − kn−1 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 ⋯ 1 − k1
5.1 模糊逼近 5.1.1 模糊系统的设计
设二维模糊系统 g (x )为集合 U = [α , β ]× [α , β ] ⊂ R 上的一个函数，其解析式形式未知。 上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一
1 1 2 2 2
则可设计一个逼近的模糊系统。 个 x ∈ U ，都能得到 g (x) ，则可设计一个逼近的模糊系统。 模糊系统的设计步骤为： 模糊系统的设计步骤为： 步骤1 个标准的、 步骤1：在 [α i , β i ] 上定义 N (i = 1, 2) 个标准的、一致
n
i
(5.11)
= 1,2, ⋯, pi
， = 1,2, ⋯ , n 。 i
采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器， 则模糊系统的输出为
n ∑1 ⋯ ∑1 y ∐ µ Aili (x i ) l1 = ln = i =1 fˆ (x | θ f ) = pn p1 n ⋯ ∑ ∐ µ A li ( x i ) ∑1 l =1 i =1 i l1 = n
sup g ( x ) − f ( x ) < ε
x ∈U
之一致的逼近定义在 U = [− 3, 3]上的连续函数 g ( x ) = sin( x ) ， 所需精度为ε = 0.2 ，即 。
由于 知， − f g
≤ ∞
∂g h = h ，故取 h ≤ 0.2 ∂x ∞
h
∂g ∂x
= cos ( x )
•
自适应模糊控制有两种不同的形式： 自适应模糊控制有两种不同的形式：
•(1)直接自适应模糊控制:根据实际系统性能与 (1)直接自适应模糊控制: (1)直接自适应模糊控制 理想性能之间的偏差， 理想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调 整控制器的参数； 整控制器的参数； •(2)间接自适应模糊控制:通过在线辨识获得控 (2)间接自适应模糊控制: (2)间接自适应模糊控制 制对象的模型， 制对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊 控制器。 控制器。
x∈U
由(5.4)式可知：假设 xi 的模糊集的个数为 N i ， 其变化范围的长度为 Li ，则模糊系统的逼近精度满 足
N
i
=
L h
i i
+ 1
即：
Li hi = Ni −1
由该定理可得到以下结论： （1）形如式（5.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意 给定的 ε > 0 ，都可将 成立，从而保证
sup g( x) − f (x) = g − f
x∈U
h1 和 h2 选得足够小，使 ∂g h1 + ∂g h2 < ε
∞
<ε 。
∂x1
∞
∂x2
∞
（2）通过对每个 xi 定义更多的模糊集可以得到更为准确 的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。 （3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 g (x ) 关于 x 和 x 的导数边界，即
p1 pn l1 ⋯ l n f
(5.12)
其中 µ A (xi ) 为 x i 的隶属函数。
j i
是自由参数， 是自由参数 ， 放在集合 θ f ∈ R 12) 量 ξ (x ) ，(5.12)式变为
y
l1 ⋯ l n f
令
n i =1
∐ pi
中 。 引入向
ˆ f (x | θ f ) = θ T ξ ( x ) f
所需精度为 ε = 0.1 。
由于
∂g ∂ x1
= sup 0 . 1 − 0 . 06 x 2 = 0 . 16 ，
∞ x ∈U
∂g ∂x2
= sup 0 . 28 − 0 . 06 x 1 = 0 . 34
∞ x∈U
由式（5.3）可知，取 h
1
= 0.2
h ，2 = 0.2 时，有
g − f ≤ 0 . 16 × 0 . 2 + 0 . 34 × 0 . 2 = 0 . 1
N1
N2
i1i2
( µ ( x1 ) µ ( x 2 ))
i1 A1 i2 A2 i1 A1
∑ ∑ (µ
( x1 ) µ ( x 2 ))
i2 A2
（5.2）
5.1.2
模糊系统的逼近精度
万能逼近定理
系统， g ( x ) 为式（5.1）中的未知函数，如果 g ( x ) 在 U = [α , β ]× [α β ]上是连续可微的，则