7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
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• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面
• 工业产品的几何形状大致可分为两类
• 一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、 圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用 初等解析函数完全清楚地表达全部形状。
•另一类由自由曲面组成，如汽车车身等 的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全 清楚地表达全部形状，需要构造新的函数 来进行研究，这些研究成果形成了计算机 辅助几何设计(Computer Aided Geome tric Design，CAGD)学科
令： F0 (t) 2t3 3t 2 1 F1(t) 2t3 3t 2 可将其简化为G：0 (t) t3 2t 2 t G1(t) t3 t 2
上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P0和P1。 称为调和函数（或混合函数）
P(t) F0P0 F1P1 G0P0' G1P1'
➢ 对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P (0)、P(1)描述。
➢ 将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和P1， 代入
得
P(t) a3t3 a2t 2 a1t a0 t [0,1]
a0 P0
a1
P0'
a2
3P0
3P1
2P
' 0
P1'
a3 2P0 2P1 P0 P1'
• 曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形 状。绘制Bezier曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使 用起来非常方便。
几种典型的三次Bezier曲线
7.4.1 Bezier曲线的定义
• 给定n+1个控制点Pi（i＝0，1，2……n），称为n次Bezier曲线。
7.5.2 双三次Bezier曲面的定义
• 双三次Bezier曲面定义如下：
33
p(u,v)
Pi, j Bi,3 (u)B j,3 (v)
i0 j0
（u，v）∈〔0，1〕×〔0，1〕
7.6 B样条曲线
• Bezier不足之处 • 确定了控制多边形的顶点个数（n+1个），也就确定了曲线的次数（n次） • 控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差 • 曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响到整条曲线，原因是Bernstein基函数 在整个开区间（0，1）内均不为零
• 一阶参数连续性，记作C1， 指相邻两个曲线段在交点处 具有相同的一阶导数。
• 二阶参数连续性，记作C2，指 相邻两个曲线段在交点处具有 相同的一阶和二阶导数。
7.4 Bezier曲线
• 法国雷诺汽车公司的工程师Bezier和法国雪铁龙汽车公司的de Casteljau分别提出了 一种新的参数曲线表示方法，称为Bezier曲线。
p(0) p(1/2)
p’(1/2)
是一段抛物线。一般情况 下，B样条曲线不经过控制 P0 点，曲线起点只与前二个
• 依次用线段连接控制点Pi（i＝0，1，2，…，n）组成的多边形称为B样条曲线控制 多边形。在工程实际中，二次B样条曲线和三次B样条曲线应用得较为广泛。
1. 矩阵表示
7.6.2 二次B样条曲线
二次B样条曲线
• 二次B样条曲线的分段参数表达式
• 矩阵形式为：
2. 几何性质 一阶导数为：
二次B样条曲线
3.凸包性质
• 由公式（7-13）可以看出，在闭区间〔0，1〕内，
，
而且
。
• 说明Bezier曲线位于控制多B边形i,n构(成t)的凸包C之ni内t。i (1 t) ni 0
n
Bi,n (t) 1
i0
7.4.3 Bezier曲线的可分割性
• Bezier曲线的可分割性可用德卡斯特里奥（De Casteliau）算法表达如下。 • 给定空间n+1个点Pi（i=0，1， 2n）及参数t，有
p’(1/2)
• 终点p(1)位于P1P2边的中 点处，且其切矢量P2－P1 P0 沿P1P2边的走向
Pm
p(1)
• P(1/2)正是P(0)、P1、P(1)
这三点所构成的三角形的
P2
中线P1Pm的中点
2.几何性质
• p(1/2)处的切线平行于两
P1
个端点的连线p(0) p(1)
• 三个顶点P0P1P2确定一段 二次B样条曲线，该段曲线
• 其中：规定：
Pi0 (t) Pi
根据该式可以绘制Bezier曲线，取t=0， t＝1/3，t＝2/3，t=1，点的运动轨迹形 成Bezier曲线。图7-8绘制的是t=1/3的 点。
图7-9绘制的是t=2/3的点。
7.5.1 Bezier曲面的定义
• Bezier曲面是由Bezier曲线拓广而来，以两组正交的Bezier曲线控制点构造空间网 格来生成曲面。m×n次Bezier曲面的定义如下：
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt 2
czt
dz
• 矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d t∈〔0,1〕
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
d
t∈〔0,1〕
• 几何形式
n
p(t) Pi Bi,n (t) i0
t∈〔0，1〕
Pi 是n+1个控制点，Bi,n (t)是Bernstein基函 数
C t (1t) Bi,n(t)
ii n
ni
n! ti (1 t)ni
i!(n i)!
1.一次Bezier曲线
• 当n＝1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。
7.6.1 B样条曲线的定义
• B样条曲线分为均匀B样条曲线和非均匀B样条曲线，本书只讨论均匀B样条曲线。 • 给定n+1个控制点Pi（i＝0，1，2，…，n），n次B样条曲线段的参数表达式为：
n
p(t) Pi Fi,n (t) i0
式中为n次B样条基函数，其形式为：
7.6.1 B样条曲线的定义
y2 x2
y1 x1
(x
x1 )
0
x y
x1 y1
(x2 ( y2
x1 )t y1 )t
• 由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩阵， 所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。
• 一条三次曲线的参数方程的矢量和矩阵表示：
• 参数方程表示：
7.1.2 曲线曲面的表示形式
• 曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数方程和参数方程表示： • 直线的表示形式：已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直
线的显式方程表示为：
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x
x1 )
• 直线的隐函数方程表示为：
•
直线的参数方程表示为：
f (x) y y1
以t=0，1，1/2代入
2. 几何性质
二次B样条曲线
二次B样条曲线
一般情况下： • 曲线不经过控制点； • 起点只与前两个控制
点有关，终点只与后 两个控制点有关
2.几何性质
• 二次B样条曲线的起点p(0) 位于P0P1边的中点处，且 其切矢量P1－P0沿P0P1边 的走向
P1
p(0) p(1/2)
7.1.1 样条曲线曲面
• 在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条） 通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline C urve)。
• 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处 满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交样条曲线来描述。