直线与方程专题复习专题复习直线与方程【基础知识回忆】1. 直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：i •与x轴相交；ii.x轴正向；iii.直线向上方向•②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为③倾斜角的范围 _____________ .(2)直线的斜率①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是②经过两点P l(X!，y!),P2(X2, y2)(X! X2)两点的斜率公式为：k③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
倾斜角为_的直线斜率不存在。
2. 两直线垂直与平行的判定(1) 对于不重合的两条直线I i,l2，其斜率分别为k「k2,，则有：l l〃l2 ______________ ____________________________________ ；I l l2(2) ___________________________________________________ 当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ____________________________________ ;当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线.3. 直线方程的几种形式一般式Ax By c 0 (A2 B20)注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式•4. 三个距离公式(1) ____________________________________________________ 两点只(人，浙),卩2匕2°2)之间的距离公式是：|P l P2| ___________________________________ •(2)点P(x0, y0)到直线l : Ax By c 0的距离公式是：d _____________ .(3)两条平行线l : Ax By & 0,1: Ax By c0间的距离公式是：d . 【典型例题】题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1、已知坐标平面内三点A( 1,1), B(1,1),C(2, ..3 1).(1) 求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角.(2) 若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.例2、图中的直线11、12、|3的斜率分别为k1、k2、k3,贝U：A . k1 < k2 v k3 B. k3< k1< k2 C. k3< k2< k1< k2例3、利用斜率证明三点共线的方法：D. k1 < k3若A(—2,3),E(3,—2),C( 0,m )三点共线，则m的值为_______ .总结：已知A(x,yJ, B(X2,y2),C(X3,y3),若花x? X3或k AB k ac，则有A、B、C三点共线。
例4、直线I方程为(a 1)x y 2 a 0 ,直线I不过第二象限，求a的取值范围。
变式：若AC 0,且BC 0，则直线Ax By C 0 一定不经过()A •第一象限B.第二象限C•第三象限D •第四象限题型二：直线的平行与垂直问题例1、已知直线I的方程为3x 4y 12 0 ,求下列直线I的方程，I满足(1)过点(1,3)，且与I平行；(2)过(1,3)，且与I垂直.本题小结：平行直线系：与直线Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax By G 0垂直直线系：与直线Ax By C 0垂直的直线方程可设为Bx Ay C2 0变式：(1)过点(1，0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程(2)过点(1，0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程例2、h : mx y (m 1) 0， J : x my 2m 0，①若h // J，求m 的值；②若I」J，求m的值。
变式：(1)已知过点A( 2,m)和B(m,4)的直线与直线2x y 1 0平行，则m的值为( )A. 0B. 8C. 2D. 10(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a =(A. -3B. -6C. ? D •彳2 3(3)若直线l i：mx y 1 0与l2：x 2y 5 0垂直，则m的值是__________________ .题型三：直线方程的求法例1、求过点P( 2，-1)，在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。
例2、已知ABC 三个顶点是A( 1,4)，B( 2, 1)，C(2,3).(1)求BC边中线AD所在直线方程；(2)求AC边上的垂直平分线的直线方程(3)求点A到EC边的距离.变式：1.倾斜角为45，在y轴上的截距为1的直线方程是( )A. y x 1 B . y X 1 C . y x 1 D . yx12. 求经过A (2，1)，B (0，2)的直线方程3. 直线方程为(a 1)x y 2 a 0，直线I在两轴上的截距相等，求a的方程；4、过P (1，2)的直线I在两轴上的截距的绝对值相等，求直线I的方程5、已知直线I经过点P( 5, 4)，且I与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线I的方程.题型四：直线的交点、距离问题例1:点P (-1 , 2)到直线8x-6y+15=0的距离为( )A . 2B .丄C. 1 D. 72 2例2:已知点P (2, -1)。
( 1)求过P点且与原点距离为2的直线I的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线I的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
例3:已知直线h：ax 2y 6 0和直线l2: x (a 1)y a2 1 0 ,(1)试判断h与I2是否平行，如果平行就求出它们间的距离；(2) L,丄J时，求a的值。
变式：求两直线:3x-4y+仁0与6x-8y-5=0间的距离_______ 。
题型五：直线方程的应用例1、已知直线丨：5ax 5y a 3 0.(1)求证：不论a为何值，直线I总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.①圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB的最值A 叶--pB 左…-B 術「BC •…广£②圆内一点A ，圆上一动点p，讨论PA的最值X /CAN r AC PAmaxAMr AC例2、直线mx-y+2m+1=(经过一定点，则该点的坐标是()A •( -2 , 1)B . ( 2, 1)C .( 1,-2 )D . ( 1, 2)圆与方程2 2 21. 圆的标准方程：以点C (a，b )为圆心，r 为半径的圆的标准方程是(X a) (y b) r2 2 2特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x y r .2. 点与圆的位置关系：(3) 涉及最值:(1). 设点到圆心的距离为d ，圆a. 点在圆内 一 d v r ；b. (2). 给定点M(x o ’y 。
)及圆 C ：(x ①M在圆C内(X 。
a)2 (y o b)2②M 在圆C 上(x 。
a)2(y o b)2c. 点在圆外一■ d >r③M 在圆C 外点在圆上 d=r ；r 2r 22 2(X 。
a) (y 。
b)、2 f.x 2 2a) (y b) rBC rmax思考：过此A 点作最短的弦？(此弦垂直 AC )2 23.圆的一般方程：x y Dx Ey F ° .C 2 IrJ D 1 2 E 24F(1) 当DE 4F °时，方程表示一个圆，其中圆心22，半径2D E(2) 当D E 4F °时，方程表示一个点 22.2 2(3) 当D E 4F °时，方程不表示任何图形.2 2注：方程AxBxy C yD x Ey F °表示圆的充要条件是：B °且A C °且D 2E 2 4AF °4. 直线与圆的位置关系:2 2 2直线 Ax By C °与圆(x a) (y b) r数来判断:1 d r 直线与圆相离 无交点；2)d r直线与圆相切 只有一个交点； 3) d r直线与圆相交有两个交点；弦长|AB|=2汀2 d 2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax By C °X?/ Dx Ey F°求解，通过解的个d圆心到直线的距离Aa Bb C(1) 当°时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交;(2) 当°时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切;(3) 当°时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系(1)设两圆C1：(X a i) (y b i) r i 与圆C2：(x a2)(y b2)r2圆心距 d G a2)2 (b1 b2)2①d 「1 O外离4条公切线.②d外切3条公切线.③r1r d d□「2相交2条公切线④dr1r2内切1条公切线.7(2)两圆公共弦所在直线方程圆C1: 2 X2y D1x E1 y F1°圆C2 : 2 X2y D2X E2y F2°则D1D2X E1 E2 y F1F2°为两相交圆公共弦方程补充说明:①若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程;②若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程相交(3) 圆系冋题6. 过一点作圆的切线的方程: (1)过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，即求解k ，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，— 2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程 为 ______________ 。
(2)过圆上一点的切线方程：圆(X ——a)2+(y ——b)2=r 2，圆上一点为(x o ，y o )， 则过此点的切线方程为(x o — a)( X —a) +(y o — b)( y —b)= r 22 2 2 2特别地，过圆X y r 上一点P(Xo ,yo)的切线方程为X o X y o y r .! 2yD 1XE 1yF 1x 2 y 2 D 2X E 2y F 20 1（1）补充:① 上述圆系不包括 C 2 ；② 2）当1时, 表示过两圆交点的直线方程 (公共弦)③ 过直线Ax By 2 2C 0 与圆 X yD X EyF 0交点的圆系方程为2y D X Ey FA X By C 0x 22 为X 2 2过两圆C 1:X yD 1xE 1yF 12和 C 2: X2y D 2X E 2y F 2交点的圆系方程y i y o k （x i X o ）b y i k （a X i ）例2.经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为_______________ 。