X
*(
j)
1 T
X[
n
j(
ns
)]
连续信号的频谱为 X( j) 采样信号的频谱为 X *( j)
X *( j)
1
T
X ( j)
-ωh 0 ωh
-3ωs -2ωs
-ωs -ωh 0 ωh ωs
X **( j)
1
T
2ωs 3ωs
-ωs -ωh 0 ωh
ωs
X *( j)
1 若ωs = 2ωh
T
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而分析系统的性能。Z变换又称为离散拉普拉斯变
换，是分析离散系统的重要数学工具。
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19
7.3.1 Z变换定义
设连续时间函数x(t) ，其拉氏变换为X(s)。连续时间函数
x(t)经采样周期为T的采样开关后，得到离散信号x*(t) ： x*(t) x(kT ) (t kT ) k 0
x(t)
x* (t) 保持器 xh (t)
T
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工程实践中普遍采用零阶保持器ZOH。它把前一个采样时刻kT的 采样值x(kT)不增不减地保持到下一个采样时刻(k+1)T。
et
eh t
et
e t
Gh s
eh t
0 T 3T 5T
t
在t kT,k 1T 区间，保持器的输出一直
若ωs<2ωmax，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立频谱构成，而 是一种与原来连续信号x(t)的频谱毫不相似的连续频谱。
k 1
X ( j)
k 1
k 0
2s
k 2
s s 2
k 1
o 2max s
X ( j) k 0
s
s
2
k 1
k 2
2s
o
2s
s
s
s
2max
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2s
12
采样信号的频谱及香农采样定理
δ(t–kT)表示发生在kT时刻，脉冲强度值与被采样的连续信号x(t)在采样时刻kT时 的值相等。
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采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关起着理想单位脉冲发
生器的作用，通过它将连续信号x(t)调制成脉冲序列x*(t)。
et
e t x*(t) x(t) (t kT ) k 0 e0 eT
行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高
系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并
且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特
别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
|X(jω)|是信号的频谱，其最高频率为ωmax，如x(t)不包含任何大于
ωmax的频率分量,离散信号x*(t)的傅氏变换为
频谱:
X *( j)
1 T
X[ j( ks )]
k
X *
(
jω)
1 T
k
X[
j(ω
kωs )]
频谱|X*(jω)|是以采样频率ωs为周期，由无限多x(t)的频谱|X(jω)|叠加
ω
Gh ( j) T
2
x(t) xh (t)
x(t)
xh (t)
Gh ( j)
Gh ( j)
o
s 2s 3s Gh ( j)
零阶保持器的幅频与相频特性
6T 7T 8T
o T 2T 3T 4T 5T
t
零阶保持器有无穷多个截止频率，并不 是只有一个截止频率的理想低通滤波器，因 此由零阶保持器恢复的连续信号xh(t)与原连 续信号x(t)是有差异的，主要表现在xh(t)具 有阶梯形状，采样周期取得越小，上述差别 也就越小。
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2
小口经高炮高精度伺服系统
粗e显示
中e显示 细e显示
数字信号 发生器
i
误差角 显示器
D/A D/A D/A
A
8255
BC
控制 D/A
计算机
D/A
计算机及其接口
模拟 滤波器
精o11
粗o12
A/D及 锁存电路
精o 粗o
PWM 放大器 SM
减速器
TG
负载
无源校
o
正网络
多级双通道 旋转变压器
近似。
x(t)
x* (t )
x(t)
x* (t)
T
o
t
脉冲序列x*(t)表达式为
采样过程
4T
o T 2T 3T
t
x*(t) x(0)[1(t) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )]
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
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x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
τ<<T，该矩形脉冲可近似用理想单位脉冲来描述:
1(t kT )1(t kT ) (t kT )
δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强度的理想脉冲。
采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出的离散时间信号x*(t) 为
x*(t) x(kT ) (t kT ) k 0
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7.3 Z变换理论
Z变换的思想来源于连续系统。在分析连续时 间线性系统的动态和稳态特性时，采用拉普拉斯变 换，将系统时域的微分方程转换成s域的代数方程， 并得到系统的传递函数，从而便于分析系统的性能。 与此相似，在分析离散时间系统的性能时，可使用 Z变换建立离散时间线性系统的脉冲传递函数，进
-3ωs -2ωs -ωs-ωh 0 ωh ωs 2ωs 3ωs
13
要从离散信号x*(t)中完全复现出采样前的连续信x(t)，必 须使采样频率ωs足够高，以使相邻两频谱不相互重叠。
Shannon采样定理：如果对一个具有有限频谱(-
ωmax<ω<ωmax)的连续信号采样，当s 采 样2角max频率
或采样频率 fs 2 fmax
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3
7.1 概述
离散控制系统（又称为采样控制系统）:有一处或几处信号是 时间的离散函数。
一般情况下，控制信号是离散型时间函数r*(t)，因此取系统 输出端的负反馈信号也需要采取离散型时间函数b*(t)，于是比 较后得到的偏差信号将是离散型时间函数:
e*(t) r*(t) b*(t)
gh (t)
1
1
0
T
t0
T
t
零阶保持器 gh (t) 1(t) 1(t T ) -1
零阶保持器的传递函数
Gh (s)
1 esT s
Gh (
j)
零阶保持器频率特性
1 e jT sin ωT j 1 cos ωT
j
ω
ω
Gh (
j )
1 e jT
j
1 cos ωT
1 ω
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sin ωT
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7.2.3 信号的恢复
若采用理想的低通滤波器
E j G j
m
0
mS
s
2
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波器在物理上是无
法实现的。实际中广泛应用的滤波器是保持hold器 (或保持电路)。
信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续时间信号。实现保
持功能的器件称为保持器。保持器是具有外推功能的元件。
保持为ek T 。其变化为零，故称零阶保持器。
若把阶梯信号的中点连接起来，则可得到
与et形状一致但在时间上落后了T 2的时间响
应et T 2。可见，保持器近似为一个延迟环
节。采样周期T减小，可使近似精度提高。
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零阶保持器的时域特性gh(t) 是高度为1宽度为T的方波。
gh (t)
r(t)
e(t)
A/D
e* (t )
数字控制器
u* (t) D/A
u(t) 被控对象
c(t)
数字计算机
测量元件
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4
数字部分
模拟部分
计算机
r(t)
r* (t) e* (t)
u * (t )
u(t)
c(t)
A/D
D
b* (t)
数 D/A 模 G(s)
A/D b(t) H (s)
数
模
数字控制系统
拉氏变换，得： L[ (t kT )] ekTs
L[x* (t)] X * (s) x(kT )ekTs
k 0
复变量s包含在指数函数e-kTs中，不便计算，引进一个新变量：z
eTs
得以z为变量的函数X(z)：
X (z) x(kT )zk k 0
X(z) 为离散时间函数X*(s)的Z变换，记为 X (z) Z[x*(t)]
8
k 0
x* (t )
x*(t) x(0)[1(t) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )]
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
4T
o T 2T 3T
t
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] k 0
1(t–kT)–1(t–kT–τ)表示kT时刻，高度为1，宽度τ，面积为τ的矩形脉冲。由于
而成。当ωs≥2ωmax时，离散信号的频谱为无限多个孤立频谱组成的
离散频谱，其中与k=0对应的是采样前原连续信号的频谱，幅值为
原来的1/T。
k 1