§2.4 共点力作用下的物体平衡 【考点聚焦】1．共点力：作于物体上同一点的力，或力的作用线相交于一点的力叫做共点力． 2．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动状态叫做平衡状态．物体的加速度和速度都为零的状态叫做静止状态．物体的加速度为零，而速度不为零，且保持不变的状态是匀速直线运动状态．3．共点作用下的物体的平衡条件：共点作用下的物体的平衡条件是物体所受合外力零，即F 合= 0．在正交分解形式下的表达式为F x = 0，F y = 0．要掌握意两个基本推论：○1 若物体受两个力作用而平衡，则这两个力一定大小相等，方向相反，且作用在同一直线．○2 若一个物体受三个力而平衡，则三个力中任意两个力的合力必与第三个力小相等，方向相反，且作用在同一直线．若这三个力是非平行力，则三个力一定是共点力，简称为不平行必共点．如果将三个力的矢量平移，则一定可以得到一个首尾相接的封闭三角形．【好题精析】例1 有一个直角支架AOB ，AO 是水平放置，表面粗糙．OB 竖直向下，表面光滑．OA 上套有小环P ，OB 套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1.4-1所示．现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO 杆对P 的支持力F N 和细绳上的拉力F 的变化情况是 （ ）A ．F N 不变，F 变大B ．F N 不变，F 变小C ．F N 变大，F 变大D ．F N 变大，F 变小解析：选择环P 、Q 和细绳为研究对象．在竖直方向上只受重力和支持力F N 的作用，而环动移前后系统的重力保持不变，故F N 保持不变．取环Q 为研究对象，其受如图2.4-1(解)所示．F cos α = mg ，当P 环向左移时，α将变小，故F 变小，正确答案为B ．点评：利用整体与隔离相结合的方法分析求解是本题解决问题的重要思想方法与手段． 例2 如图2.4-2所示，轻绳的A 端固定在天花板上，B 端系一个重力为G的小球，小球静止在固定的光滑的大球球面上．已知AB 绳长为l ，大球半径为R ，天花板到大球顶点的竖直距离AC = d ，∠ABO > 900．求绳对小球的拉力和大球对小球的支持力的大小．（小球可视为质点）解析：以小球为研究对象，其受力如图2.4.2(解)所示．绳的拉力F 、重力G 、支持力F N 三个力构成封闭三解形，它与几何三角形AOB 相似，则根据相似比的关系得到：l F =R d G +=R F N ，于是解得F = R d l +G ，F N = Rd R +G ． 点评：本题借助于题设条件中的长度关系与矢量在角形的特殊结构特点，运用相似三角形巧妙地回避了一些较为繁琐的计算过程．例3 如图2.4-3所示，用细线AO 、BO 悬挂重力，BO 是水平的，AO 与竖直方向成α角．如果改变BO 长度使β角减小，而保持O 点不动，角α（α < 450）不变，在β角减小到等于α角的过程中，两细线拉力有何变化？ 图2.4-1(解) 图2.4-2图2.4-2(解)图2.4-3解析：取O 为研究对象，O 点受细线AO 、BO 的拉力分别为F 1、F 2，挂重力的细线拉力F 3 = mg ．F 1、F 2的合力F 与F 3大小相等方向相反．又因为F 1的方向不变，F 的末端作射线平行于F 2，那么随着β角的减小F 2末端在这条射线上移动，如图2.4-3(解)所示．由图可以看出，F 2先减小，后增大，而F 1则逐渐减小． 点评：一般情况下，物体已知合力与一个分力的方向，求其中一个合力或两个分力的变化情况时，用图解法可以简化繁琐的数学论证过程，提高解题效率．例4 一表面粗糙的斜面，放在水平光滑的地面上，如图2.4-4所示，θ为斜面的倾角．一质量为m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑．若一推力F 用于滑块上使之沿斜面匀速上滑，为了保持斜面静止不动，必须用一大小为f = 4mg cos θsin θ的水平力作用于斜面上，求推力F 的大小和方向． 解析：因物块恰好能够沿斜面下滑，设斜面与物块间的动摩擦因数为μ，则可得到：mg sin θ = μmg cos θ，即μ = tan θ．设推力F 沿斜面的分量为F x ，垂直于斜面的方向的分量为F y ，其受力分析如图2.4-4(解a )所示，其中支持力为F 1、摩擦力为F 2．根据平衡条件列出方程：F x = mg sin θ + F 2、F 1 = F y + mg cos θ且F 2 = μF 1． 斜面的受力如图2.4-4(解b )所示，其中Mg 为斜面所受重力，F 3为地面对斜面的支持力，斜面静止：f = F 2cos θ +F 1sin θ．综合上述各式可解得：F x = 3mg sin θ；F y = mg cos θ，则推力F =22y x F F += mg θ2sin 81+，与斜面方向夹角φ满足：tan φ = x yF F = 31tan θ． 点评：本题利用正交分解的方法并通过隔离法对斜面和物块分别研究后建立方程进行求解． 例5 如图2.4-5所示，汽车用绳索通过定滑轮牵引小船，使小船匀速靠岸，若水对船的阻力不变，则下列说法中正确的是：（ ）A ．绳子的拉力不断增大B ．船受到的浮力不断减小C ．船受到的合力不断增大D ．绳子的拉力可能不变解析：小船受重力mg 、浮力F 1、绳索拉力F 2、水的阻力F 3作用．其受力如图2.4-5(解)所示，并建立直角坐标系，且设绳索拉力与水平方向成θ角，则由平衡条件：F 2cos θ = F 3、F 2sin θ + F 1 = mg ，在小船匀速靠的过程中，θ角增大，阻力F 3、重力mg 保持不变，故绳索的拉力F 2增大，浮力F 1减小，船受到的合力一直为零．所以A 、B 正确．点评：本题引入角度θ从而建立函数关系式来判断各物理量的变化情况，这种形式是平衡问题常的手段之一．另外，小船匀速靠，但牵引的汽车却做减速运动，根据运动的合成与分解可知汽车速度和船的速度关系为v 车 = v 船cos θ，随着θ的增大v 车减小，即汽车做减速运动．【当堂反馈】1．放在斜面上的小盒内装有砂，小盒恰好能匀速下滑，若在运动中在盒内再加一些砂子，是下列判断中正确的是：（ ）A ．小盒将静止不动B ．小盒将做减速运动C ．小盒所受的合外力变大D ．小盒所受的合外力不变图2.4-3(解) 图2.4-4 图2.4-4(解a ) 图2.4-4(解b )图2.4-5 图2.4-5(解 )2．如图2.4-6是滑板的简化示意图．运动员在快艇的水平牵引下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板光滑，且不计质量，滑板的滑水面积为S ，滑板与水平方向夹角为θ角（板的前端抬起的角度），水的密度为ρ，理论证明：水对板的作用力大小为F = ρSv 2sin 2θ，方向垂直于板面，式v 为快艇的牵引速度．若运动员受重力为G ，则快艇的水平牵引速度v = _____________．【强化训练】1．如图2.4-7所示，一铁球放在板与竖直墙壁之间，当板向上缓慢抬起时，使θ角变小时，下在正确的是： （ ）A ．球对墙的压力将变大B ．球对墙的压力将变小C ．球对板的压力将变大D ．球对板的压力将变小2．如图2.4-8所示，物体A 、B 用细绳连接后跨过滑轮．A 静止在倾角为450的斜面上，B 悬挂着．已知质量m A = 2m B ，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由450增大到500，但物体仍保持静止，那么下列说法中正确的是：（ ）A ．绳子的张力将增大B ．物体A 对斜面的压力将减少C ．绳子的张力及A 受到的静摩擦力都不变D ．物体A 受到的静摩擦力将增大3．如图2.4-9所示，质量为m 的物体，在恒力F 作用下沿天花板匀速直线运动，物体与顶板间的动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力大小为： （ ）A ．F ·sin θB ．F ·cos θC ．μ(F sin θ—mg )D ．μ(mg —F sin θ) 4．如图2.4-10所示，质量为M 的人用轻绳绕过定滑轮拉—个质量为m的物体，斜绳的倾角为α，物体正在匀速下降，则： （ )A ．轮对轴的压力的mg + Mg sin α，方向竖直向下B ．人对绳的拉力小于mgC ．人对地的压力一定小于Mg 、大于mgD ．人对地的摩擦力等于mg cos α 5．如图2.4-11所示，质量为m 的质点，与三根相同的螺旋形轻弹簧相连。

静止时，相邻两弹簧间的夹角均为1200．已知弹簧a 、b 对质点的作用力均为F ，则弹簧c 对质点的作用力大小可能为： ( )A ．FB ．F + mgC ．F —mgD ．mg —F 6．轻细绳两端分别系上质量为m 1和m 2的两小球A 和B ，A 沿半球形光滑碗面下滑，在P 处平衡，如图2.4-12所示，O 为球心，COP ∠= 600．碗对A的支持力为N ，绳对A 的拉力为T ，则： ( )A ．N > TB ．N = TC ．N = m 2gD ．m 1 = 23m 7．如图2.4-13所示，一个质量为m ，顶角α的直角劈和一质量M 的楔形木块在两竖直墙之间，不计摩擦，则M 对地面的压力F N 1 = _______________，左墙对M 的压力F N 1 = _______________．8．一个底面粗糙质量为M 的劈放在粗糙水平面上，劈的斜面光滑且与水平面夹角为300，用一端固定的轻绳系着一个质量为m 的小球，小球放在斜面上，轻图2.4-6快艇 水面 图2.4-7 图2.4-8 图2.4-9图2.4-10c a b 图2.4-11 图2.4-12图2.4-13绳与斜面间的夹角为300，如图2.4-14所示。

当劈静止时绳中张力大小T= ____________；若地面对劈的最大摩擦力等于地面对劈的支持的k倍，为使整个系统静止k的值不能小于___________．9．一个重为G的物体被悬挂后，再对物体施加一个大小一定的作用力F（F < G），使物体在某一位置重新获得平衡，如图2.4-15所示，若不计悬线质量，求悬线与竖直方向的最大夹角．10．重1003N的由轻绳悬挂于墙上的小球搁在轻质斜板上，斜板搁于墙角．不计一切摩擦，球和板静止于图2.4-16所示的位置，图中α角均为300．求：悬绳中张力和小球受到斜板的支持力各是多少？小球与斜板接触点应在板上的何处？板两端所受压力是多大？（假设小球在板上任何位置时，图中的α角均保持不变）．参考答案当堂反馈：1．D 2．θθρ2sincosSG强化训练：1．AC 2．BD 3．BC 4．D 5．ABCD 6．BCD7．(M + m)g、mg cotα8．33mg、mMm363+9．θmax = arcsinGF．10．N A = 503N、N B = 50N；x =41AB．图2.4-14图2.4-15图2.4-16。