2013年普通高等学校招生全国统一测试数学（理）（北京卷）本试卷共4页，150分。

测试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =（A ）{}0（B ）{}1,0-（C ）{}0,1（D ）{}1,0,1-（2）在复平面内，复数()22i -对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）1 （B ）23（C ）1321（D ）610987（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲 线x y e =关于y 轴对称，则()f x = （A ）1x e + （B ）1x e -（C ）1x e -+（D ）1x e --（6）若双曲线22221x y a b-=3 （A ）2y x =±（B ）2y x =（C ）12y x =±（D ）2y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于（A ）43（B ）2（C ）83（D 162开始i =0，S =12121S S S +=+ i =i +1i ≥2 是 输出S结束否（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（A ）4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（C ）2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ （D ）5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 2ρθ=的距离等于___________．（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =____；前n 项和n S =____．（11）如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 和圆O 相交于D ．若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =___________；AB =___________．（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________．（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c =λa +μb （λ，μ∈R ），则λμ=___________． （14）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为___________． 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）在△ABC 中，3a =，26b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值． （16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．DOa bcABDPEA 1B 11D 1121377986158160217160220143572586空气污染指数2502001501005014日13日12日11日9日2日1日日期（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值． （18）（本小题共13分）设L 为曲线ln :x C y x =在点()1,0处的切线．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方． （19）（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． （20）（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．设数列前n 项的最大值为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N *，4n n a a +=）， 写出1d 、2d 、3d 、4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数．证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．C 1B 1A 1CBA2013年普通高等学校招生全国统一测试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1（10）2 122n +- （11）954（12）96 （13）4 （1425三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为3a =，26b =2B A ∠=∠， 所以在△ABC 中由正弦定理得326sin A =．所以2sin cos 26sin A A A =故6cos A = （Ⅱ）由（Ⅰ）知6cos A =23sin 1cos A A =-=．又因为2B A ∠=∠，所以21cos 2cos 13B A =-=．所以222sin 1cos B B =-．在△ABC 中()sin sin C A B =+ sin cos cos sin 53A B A B=+=所以sin 5sin a Cc A ==．（16）（共13分）解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（i=1，2，…，13）．根据题意，()113i P A =，且().i j A A i j =∅≠（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58.B A A =所以()()582.13P B P A A ==（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 ()()367111P X P A A A A ==()()()()367114,13P A P A P A P A =+++=C 1B 1A 1BA()()1212132P X P A A A A ==()()()()1212134,13P A P A P A P A =+++=()()()51112.13P X P X P X ==-=-==所以X 的分布列为：故X 的期望54412012.13131313EX =⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． （17）（共14分） 解：（Ⅰ）因为11AAC C 是正方形，所以1AA AC ⊥． 因为11ABC AAC C ⊥平面平面，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以1AA ⊥平面ABC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1AA AC ⊥，1AA ⊥AB ．由题知AB =3，BC =5，AC =4，所以AB AC ⊥． 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则 ()0,3,0B ，()10,0,4A ，()10,3,4B ，()14,0,4C ．设平面11A BC 的法向量为(),,x y z n ，则1110,0.A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩令z =3，则x =0，y =4，所以()0,4,3=n ．同理可得平面11BB C 的法向量为()3,4,0=m ．所以16cos ,.25⋅==⋅n m n m n m 由题知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为16.25（Ⅲ）设点D (),,x y z 是直线BC 1上一点，且1.BD BC λ=所以()(),3,4,3,4x y z λ-=-．解得4,33,4.x y z λλλ==-=X 012P513 413 413Dxz y所以()4,33,4.AD λλλ=-由10AD A B ⋅=，即9250λ-=， 得925λ=．因为[]90,125∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得1AD A B ⊥． 此时19.25BD BC λ==（18）（共13分） 解：（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln 'xf x x-=．所以()'11f =．所以L 的方程为1y x =-． （Ⅱ）令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于 ()()001g x x x ∀>≠，＞．()g x 满足()1=0g ，且()()221ln 1=x xg x f x x -+''=-． 当0＜x ＜1时，210ln 0x x -＜，＜，所以()0g x '＜，故()g x 单调递减； 当x ＞1时，210ln 0x x -＞，＞，所以()0g x '＞，故()g x 单调递减．所以()()()1=001.g x g x x ∀>≠，＞所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．（19）（共14分）解：（Ⅰ）椭圆22:14x W y +=的右顶点B 的坐标为（2，0）．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 和OB 相互垂直平分．所以可设A （1，m ），代入椭圆方程得2114m +=，即3m =所以菱形OABC 的面积是1122 3.22OB AC m ⋅=⨯⨯=（Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形． 因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为()0,0.y kx m k m =+≠≠由2244,.y m x y kx =+⎧+=⎨⎩消去y 并整理得()222148440.k xkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则1212122242142214x x y y x x km m,k m .k k +++=-=⋅+=++所以AC 的中点为2241414kmm M ,.k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14.k-因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 和OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，和假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 不可能是菱形．（20）（共13分）解：（Ⅰ）121d d ==，343d d ==． （Ⅱ）（充分性）因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d ≥0，所以 12n a a a ≤≤…≤≤….因此n n A a =，1n n B a +=，()11,2,3,n n n d a a d n +=-=-=．（必要性）因为()01,2,3,n d d n =-=≤，所以.n n n n A B d B =+≤又因为n n a A ≤，1n n a B +≥，所以+1n n a a .≤于是，=n n A a ，1=.n n B a +因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）因为12a =，1n d =，所以11=2A a =，1111B A d =-=． 故对任意n ≥1，a n ≥B 1=1．假设{}()2n a n ≥不存在大于2的项． 设m 为满足a m ＞2的最小正整数， 则2m ≥，并且对任意1≤k ＜m ，a k ≤2． 又因为12a =，所以A m -1=2，且A m =a m ＞2．于是21=1m m m B A d =--＞，{}1min 2m m m B a ,B .-=≥ 故111220m m m d A B ---=--=≤，和11m d -=矛盾． 所以对于任意n ≥1，a n ≤2=a 1，所以A n =2． 故21 1.n n n B A d =-=-=因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1．。