求数列通项公式方法（ 1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 { a n } 满足： a 3 7, a 5 a 7 26 ， 求 a n ；2. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2,a n a n 1 1(n 1) ，求数列 { a n } 的通项公式；3.数列 a n 满足 a 1 =8，a 4 2，且 a n 2 2a n 1 a n 0 （ n N ），求数列 a n 的通项公式；4. 已知数列 { a n } 满足 a 12, 1 1 2 ，求数列 a n 的通项公式；an 1a n5. 设数列 { a n } 满足 a 1 0 且11，求 { a n } 的通项公式a n 1111 a n6. 已知数列 { a n } 满足 a n12a n , a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。

a n 27. 等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 2a 1 3a 229a 2 a 6 ，求数列 { a n } 的通1， a 3 项公式8. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2, a n 3a n 1 (n 1) ，求数列 { a n } 的通项公式；9. 已知数列 { a n } 满足 a 12，a 24且 a n 2 an2N ），求数列 a n 的a n 1 （ n 通项公式；10. 已知数列 {a n } 满足 且 a n 1 5n 1 2( a n 5n ) （n N ），求数列a n 的通a 1 2，项公式；11. 已知数列 { a n } 满足 a 12，且 a n 1 5 2n 1 2 3(a n 5 2n 2) （ nN），求数列 a n 的通项公式；12. 数列已知数列a n 满足 a 11 a n 的通项公式 =, a n 4a n 1 1(n 1). 则数列2（2）累加法1、累加法 适用于： a n 1 a n f (n)a 2 a 1 f (1) 若 a n 1 a n f (n) ( n 2) ，则a 3 a 2f (2)an 1a nf ( n)n两边分别相加得an 1a 1f (n)k 1例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a 11 , a n1a n4n 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。

2212. 已知数列 { a n } 满足 a n 1 a n 2n 1， a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。

3. 已知数列 {a n } 满足 aa23n 1， a 3 ，求数列 { a n } 的通项公式。

n 1n14. 设数列 {a n } 满足 a 1 2 ， a a 3 2 2 n 1 ，求数列 { a n } 的通项公式n 1n（3）累乘法适用于：a n 1 f (n) a n若an 1a 2 a 3 f (2)，a n1f (n)a n f ( n) ，则f (1)，，a 1a 2a na n 1 na1 f (k )两边分别相乘得，a1 k 1例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a n 1 2( n 1)5n a n， a1 3 ，求数列 { a n } 的通项公式。

2. 已知数列a n满足a1 2， a n 1n，求 a n。

3 na n13. 已知a1 3 ， a n 1 3n 1(n 1) ，求 a n。

3na n2（4）待定系数法适用于a n 1qa n f ( n)解题基本步骤：1、确定 f (n)2、设等比数列a n 1 f (n)，公比为3、列出关系式a n 1 1 f (n1)2[ a n 1 f ( n)]4、比较系数求 1 ， 25、解得数列a n 1 f (n)的通项公式6、解得数列a n的通项公式例： 1.已知数列{ a n}中，a11,a n2a n 11(n 2) ，求数列a n的通项公式。

2. （ 2006，重庆 , 文 ,14 ）在数列a n中，若a11,a n 1 2a n 3(n 1) ，则该数列的通项 a n_______________3. （ 2006. 福建.理 22. 本小题满分 14 分）已知数列 a n 满足a1 1,a n 1 2a n 1(n N * ). 求数列a n的通项公式；4. 已知数列{ a n}满足a n 1 2a n 3 5n， a1 6 ，求数列 an的通项公式。

解：设 a n 1 x 5n 1 2( a n x 5n )5. 已知数列 {a n } 满足an 13a 5 2n 4， a 1，求数列{ a n}的通项公式。

n 1解：设 a n 1 x 2n 1 y 3(a n x 2n y)6. 已知数列 a n 中， a1 5 , a n 1 1a n (1) n 1，求a n6 3 27. 已知数列{ a n}满足a n 1 2a n 3n2 4n 5， a1 1，求数列 { a n } 的通项公式。

解：设 a n 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(a n xn2 yn z)8.已知数列{ a n}满足a n 12a n 4 3n 1， a11，求数列a n的通项公式。

递推公式为 a n 2pa n 1qa n（其中p，q均为常数）。

先把原递推公式转化为a n 2sa n 1t (a n 1sa n )s t p其中 s， t 满足st q9.已知数列{ a n}满足a n 25a n 16a n , a11,a2 2 ，求数列 { a n } 的通项公式。

10. 已知数列a n 满足 a1 1,a2 3, a n 2 3a n 1 2a n (n N*).（ I ）证明：数列an 1 a n是等比数列；（II）求数列a n的通项公式；11.已知数列a n中， a1 1 , a2 2 ,a n 2 2 an 113a n，求a n3（5）递推公式中既有S n分析：把已知关系通过 a n S1 , n 1a n或S n的递推关系，然后采S n转化为数列S n 1 , n 2用相应的方法求解。

1. （ 2005 北京卷）数列 { a n} 的前n项和为S n，且a1 =1，an 1 1 S n ，n=1，，，，2 3求 a2， a3， a4的值及数列{ a n}的通项公式．2. （ 2005 山东卷）已知数列a n 的首项 a1 5, 前 n 项和为 S n，且Sn 1Sn n 5(n N * ) ，证明数列a n 1 是等比数列．3．已知数列前 n 和1a n 中，a1 S n ( n 1)(a n 1) 13，2①求证：数列a n 是等差数列②求数列 a n 的通项公式4. 已知数列{ a n}的各项均为正数，且前 n 项和S n满足S n 1(a n 1)(a n 2) ，且 a2 , a4 , a9 6成等比数列，求数列 { a n} 的通项公式。

（6）根据条件找n1与n项关系例 1. 已知数列{ a n}中，a11, a n 1C 1，若C5,b n1，求数列{ b n}的a n2a n 2通项公式{ a n } a 1,a(1 1)ann 1 2. （ 2009 全国卷Ⅰ理）在数列 1n 1n2n中，a n（I ）设b n{ b n }的通项公式n ，求数列（7）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a n 12a n , a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。

a n 2（ 8）对无穷递推数列消项得到第 n 1 与 n 项的关系例：1. （ 2004 年全国 I第 15 题 ， 原 题 是 填 空 题 ） 已 知 数 列 { a n } 满 足a 1 1， a n a 1 2a 2 3a 3 (n 1)a n 1 (n 2) ，求 { a n } 的通项公式。

2. 设数列a n 满足 a 1 3a 2 32 a 3 ⋯ 3n 1a nn， a N * ．求数列 a n 的通项；3（8）、迭代法例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a n 1a n 3( n 1)2 n， a 15 ，求数列 { a n } 的通项公式。

解：因为 a n 1a n 3( n 1)2 n，所以a n a n 3 n 12n 1n 2n 12( n 2) ( n 1)[ a n 3( n 2 1) 2 ] 3n 2a n 3 (2n 1) n 2[ a n3( n3 2) 2n 3]32 ( n 1) n 2( n 2) (n 1)a n 33 (3n 2)( n 1)n 2( n 3) (n 2) (n 1)a 13n 12 3(n 2) ( n 1) n 21 2(n 3) (n 2) ( n 1)n ( n 1)n 12a 13 n ! 2n 1n (n 1)又 a 1 5 ，所以数列 { a n } 的通项公式为 a n 53n! 22。

（ 9）、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例： 已知数列 {a n} 满足 a2 3n a 5 ， a 1 7 ，求数列 { a n } 的通项公式。

n 1n解：因为 a n 1 2 3n a 5n ， a 1 7 ，所以 a n 0， a n 1 0 。

两边取常用对数得lg a n 1 5lg a n n lg3 lg 22、换元法 适用于含根式的递推关系例： 已知数列 { a n } 满足 a n 11(1 4a n 1 24a n )，a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。

16解：令 b n1 24a n ，则 a n1(b n 2 1)24。