（6.1.1）
1 ( X ) g1 2 (X ) g2 ( X ) G ( X ) g m m
（6.1.2）
式中： X [ x1 , x2 ,, xn ]T ，为决策变量向量。
多目标规划Pareto解集
在机械设计和控制器设计中，常常需 要考虑多个目标，如性能指标、经济性指标、 物理可实现性 目标等等。为了满足这类问题 研究之需要，本章拟结合有关实例，对多 目标规划方法及机电系统中的应用问题作 一些简单地介绍。
本章主要内容
多目标规划及其非劣解 多目标规划求解技术简介
多目标规划问题的求解不能只追求一 个目标的最优化（最大或最小），而不顾 其他目标。
在图 6.1.1 中，就方案①和② Pareto set 来说，①的 f 2 目标值比②大， 但其 f 1 目标值比②小，因此无法 确定这两个方案的优与劣。在各 个方案之间，显然：③比②好， ④比①好，⑦比③好，⑤比④好。 而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无 法确定优劣，而且又没有比它们 Cost f1 更好的其他方案，所以它们就被 以max问题为例 称之为多目标规划问题的非劣解 或有效解，其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣 图6.1.1 多目标规划的劣解与 解集。 非劣解
的最佳满意解。
如果将（ 6.1.1 ）和（ 6.1.2 ）式进一步缩
写， 即
max(min) Z F(X )
( X ) G
（6.1.3） （6.1.4）
式中：Z F ( X )来自是k维函数向量；k是目标函数的个数；
Φ( X ) 等是m维函数向量；
G 是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和
（6.1.4）式可以进一步用矩阵表示
max(min) Z AX
（6.1.5）
BX b
（6.1.6）
式中： X 为n维决策变量向量； A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵； B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意 味着需要做出如下的复合选择： 每一个目标函数取什么值，原问题可 以得到最满意的解决？ 每一个决策变量取什么值，原问题可 以得到最满意的解决 ？
目标规划方法 多目标规划应用实例
第1节 多目标规划及其非劣解
多目标规划及其非劣解 多目标规划的非劣解
一、多目标规划及其非劣解
任何多目标规划问题，都由两个基 本部分组成： (1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数 学模型一般地描写为如下形式
max(min)f ( X ) 1 Z F ( X ) max(min)f 2 ( X ) max(min)f ( X ) k
Cost f2
当目标函数处于冲突状态时，就不会 存在使所有目标函数同时达到最大或最小 值的最优解，于是我们只能寻求非劣解 （又称非支配解Non-dominated solution 或帕累托解Pareto set）。 可以通过定义评价函数进一步对
Pareto set进行评价，得到在Pareto set