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高2020-2021届第二次模拟考试
数学（理）试题含答案
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．
（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合2
{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=
A ．1
B ．-1
C ．±1
D ．0 2．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ． A ．2
()f x x =
B ．1()f x x
=
C ．()ln 26f x x x =+-
D ．()sin f x x =
3．已知p ：存在22
00,20.:,210x R mx q x R x mx ∈+≤∈-+>任意，若“p 或q ”为假命
题，则实数m 的取值范围是
A ．[1，+∞）
B ．（一∞，一1]
C ．（一∞，一2]
D ．[一l ，1]
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时．n 等
于 A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．定义在R 上的函数()f x 满足2
(6)(),31,()(2),f x f x x f x x +=-≤≤=-+当时当一
1≤x<3时，(),(1)(2)(3)(2013)f x x f f f f =+++=则
A ．2013
B ．2012
C ．338
D ．337
6． 如果实数x 、y 满足条件1010
,10x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
那么z=4x ·2-y 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．
14
7．已知函数33(0)()(,)(0)(01)
x
x a x f x x a
x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨
≥>≠⎩是且上的减函数，则
a 的取值范围是
A ．2(0,]3
B ．1(,1)3
C ．（2，3）
D ．12
(,]23
8．已知F 1，F 2为双曲线22
:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，
1212||2||,cos PF PF F PF =∠则=
A ．
14
B ．
3
4
C ．
3
5
D ．
45
9．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC
的体积为
A ．
3
3
B ．
23
3
C ．
43
3
D ．
53
3
10．已知函数y=x 3
-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．则c= A ．一2或2 B ．一9或3 C ．一1或1 D ．一3或1
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）
11．若6
()a x x
-
展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ． 12．若曲线||21x
y =+与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是 ．
13．椭圆22
21(5x y a a
+=为定值，且5a >）的的左焦点为F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、
B 。
△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。
14．已知函数y=f （x+1）的图象关于点（一1，0）对称， 且当x ∈（一∞，0）时．f （x ）+xf （x ）<0成立（其中()()f x f x 是的导函数），
若0.3
0.3
331
1(3)(3),(log 3)(log 3),(log )(log )99
a f
b f
c f ππ=⋅=⋅=⋅,则a ，b ，c 从大
到小的次序为 . 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题评分）
A ．（不等式选做题）若不等式4
|1||3|x x a a
++-≥+
对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范圉是 ． B ．（几何证明选做题）如图所示．A ，B 是两圆的交点。
AC 是小圆的直径 D ，E 分别是CA ，CB 的延长线与大圆的交点· 已知AC=4，B E=10，且BC=AD ，则AB= ．
C ．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知A （1，0）B （0，
2
π
）点P 在曲线2cos 4cos ρθθρ+=上，则|PA|+|PB|最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明
过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
2cos 3sin ,12
B
B b ==。
（1）若512
A π
=
，求边c 的大小； （2）若a=2c ，求△ABC 的面积．
17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切
正整数n 都成立.
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设10,100,a n λ>=当当为何值时，数列{lg
1
n
a }的前n 项和最大? 18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC 中， OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB=20°，且OA=OB=O C=1．
（1）设P 为AC 的中点．证明：在AB 上存在一点Q ，使
PQ ⊥OA ，并计算
AB
AQ
的值．
（2）求锐二面角O 一AC —B 的平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80％，二等品
率为20％：乙产品的一等品率为90％，二等品率为10％．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x 的分
布列：
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
20．（本小题满分13分）已知点P （一1，3
2）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>上一点
F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设A ，B 是椭圆￡上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且求直线AB 的斜率。
（3）在（2）的条件下，当△PAB 面积取得最大值时，求λ的值。
21．（本小题满分14分）已知函数2
()ln (2).f x x ax a x =-+-
（1）讨论()f x 的单调性： （2）设a>0，证明：当0<x<
1
a
时，11()();f x f x a a +>-
（3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点·线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：
0()0.f x <。