( 1) 模拟产生一个均匀分布于 ( 0, 1) 的随机数列 ui (可以采用累乘法程序生成 ) ; ( 2) 将 ui 转换成均值为 0、均方差为 R 的正态分布随机数列 xi , 即
x i = R - 2 lnui co s( 2Pui+ 1 )
i = 1, 3, 5,n - 1
( 9)
x i+ 1 = R - 2lnui s in( 2Pui+ 1 )
角级 数法与傅氏逆变换法在简便、合理等方面的优点。
关键 词: 随机过程; 功率谱密度; 轨道不平顺; 数值模拟
中图 分类号: P315
文献标识码: A
A num erical sim ulation of the track irregularity stochastic process
ZHANG L -i w e i1 FENG Jun-he2
通过式 ( 6)描述的这种转换关系, 可以得到不同车速下轨道不平顺的时域功率谱密度函数。如, 对于美国轨
道六级功率谱密度 SM 8 ( m 2 # m ) 的垂向不平顺空间域表达式
Sv
8
=
2PK
A
v
8
2 c
82
82 +
8
2 c
( 7)
可通过式 ( 6) 得相应的时间域功率谱密度函数 SM X ( m 2# s)
式中:
R=
P 2
2kA v v$t; $t为时间采样间隔。
( 3) 通过下面的滤波过程, 可以通过随机变量 xi 产生随机过程样本函数 Gi ( Gi 的谱密度即美国六级垂
向时域不平顺谱 )
Gi = a + 1 Gi- 1 - aGi- 2 + 1 - a x i
( 10)
式中, a = exp( - Xc $t) 。
k= 0
i 2jkP N
E Ck
=
1 N- 1 x N n= 0
n $t
exp -
i
2kn N
P
T
Q Ck =
1 x ( t) exp( T0
ik X0 t)
dt =
1 T
F
x
k X0, T
( 12) ( 13) ( 14)
10 6
世界地震工程
24 卷
由式 ( 13) 带入式 ( 11)得
Sx
kX0
1 引言
铁路交通以其运量大、速度快、安全可靠、运行稳定等特点而成为现代交通运输的主要工具, 但是, 随着 高速列车及轻轨、地铁的发展, 列车与线路结构的相互作用以及列车诱发环境振动等问题都成为研究的热 点。轨道不平顺是引起车路系统各种动态响应的主要原因, 特别是无缝轨道线路的采用, 使轨道随机不平顺 更是占据主导地位 [ 5] 。已有的研究 [ 8] 表明, 轨道不平顺具有平稳性或弱平稳特征, 可以近似作为平稳随机 过程处理。美国、德国以及英国等国家都对轨道的不平顺进行了测量和研究, 并建立了统一标准的密度函
2 功率谱空间、时间域的转化
为了求解空间域、时间域功率谱密度函数间的相互关系, 首先从两个谱密度函数的定义进行推导。假定 轨道不平顺 y x 是各态历经的平稳随机过程, 则空间域的自相关函数 R 1 l 和功率谱密度函数 S1 X1 分 别为
s
Q S
lim
y]
R
1
l=
1 s
yx
y x + l dx
( 1)
3. 1 白噪声滤波法及二次滤波法 白噪声滤波法将轨道不平顺随机过程抽象为满足一定条件的白噪声, 并将其视为一个线性系统的输入,
则输出就是满足特定功率谱要求的随机过程样本, 这也是地震波人工模拟的一种常用方法; 二次滤波法是针 对不同的轨道谱设计滤波器, 把白噪声经过两次滤波拟和为满足特定谱的随机样本。这两种方法的样本拟 和精度都和滤波器的设计有关。为了提高样本的模拟质量, 文献 [ 9]在滤波器设计中采用了遗传算法。本 文参考文献 [ 3]给出的空间样本模拟方法, 以美国六级垂向不平顺功率谱为例, 给出时域样本的二次滤波模 拟方法, 具体步骤如下:
24卷 1期 2008年 3月
世 界 地 震 工程
W ORLD EARTHQUAKE ENG IN EER ING
文章编号: 1007- 6069( 2008) 01-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0103- 07
V o .l 24, N o. 1 M ar. , 2008
轨道不平顺随机过程的数值模拟
张立伟 1 冯军和 2
( 1. 黑龙江工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150050; 2. 北京工业大学 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室, 北京 100022)
0
+]
Q QQ S1
X1
=
-]
+]
R1
l
e- iX1l dl =
lim
Sy ]
1 s -] 0
s
y
x
y x + l e- iX 1l dx dl
( 2)
时间域的自相关函数、功率谱密度函数分别为
T
Q T
limR
y]
2
S=
1z T0
t
z
t+ S dt
( 3)
+]
Q QQ S2 X2 =
+]
R2
-]
S
e- iX2S dS =
Abstract: T he ra ilway track irregularity is a m a in influentia l factor to dynam ic interaction o f tra in-track, and the stochastic process sam ple is a ind ispensab le param eter in the dynam ic m odel for ana lysis of the train- track. A ccording to stochastic theory, the transform ed relat ion o f pow er spectrum density o f ra ilw ay track irregu lar ity betw een tim e and space dom a in and the expression o f pow er spectrum density in t im e dom ain are g iven. T he princ iples and steps of w ide-used m ethod for simu lation of the tra in- truck are analyzed. Through the analysis o f num erical m ethod about pow er spectrum density of the railw ay track irregularity, a new m ethod o f trigonom etric series is g iven, the IFFT and the new m ethod is also equ iva len.t F inally the num erica l sim ulat ion show s that both the new m ethod and IFFT are m o re effective. K ey w ord s: stochast ic process; pow er spectra l density; railw ay track irregu larity; num erica l sim ulat ion
对铁路车辆 - 轨道系统进行深入的动力学分析以及对车辆进行振动台试验, 都需要可靠的线路不平顺 样本。考虑到轮轨接触等非线性因素, 轨道不平顺随机过程的数值模拟也是车辆 - 轨道系统动力研究的重 要工具, 其模拟质量直接影响研究的有效性。国内外常用的轨道不平顺数值模拟方法有白噪声滤波法、二次 滤波法、三角级数法以及逆傅氏逆变换法 [ 2、4、6、7、11~ 13] 。已有的轨道不平顺功率谱均是空间域谱, 这给轨道不 平顺样本的数值模拟及时域评价带来不便。本文根据随机振动理论, 研究了轨道不平顺功率谱的空间、时间 域的相互关系, 并给出了时间域功率谱表达式。从时间域谱密度函数出发, 对不同轨道不平顺模拟方法进行 了探讨, 给出了相应的时域模拟方法的原理及步骤。根据功率谱的快速离散数值计算方法, 给出了一种与逆 傅氏变换法同源的新三角级数模拟方法。最后对不同数值模拟方的样本进行了对比分析, 分别从样本的使 用性、时程幅值以及频谱结构, 对不同方法给出了合理的评价。
上述模拟方法产生的轨道不平顺随机样本的频率很宽。为了满足轨道频谱的实际测量范围, 需要对样
本进行带宽滤波, 这样一个满足要求的样本就形成了。
3. 2 三角级数法与逆傅氏变换法
设轨道不平顺为各态历经随机过程 x t , 则其功率谱密度函数为
T
Q Fx X, T = x t exp - iXt dt 0
不平顺的参数; 8 c = 0. 8245 ( rad /m ) 和 Xc = 8 cv ( rad / s) 分别为空间截断频率和时域截断频率; v( m / s) 为
1期
张立伟等: 轨道不 平顺随机过程的数值模拟
1 05
车速。
3 数值模拟方法
轨道不平顺的数值模拟方法主要有白噪声滤波法、二次滤波法以及三角级数法和傅氏逆变换方法, 其它方法 基本上是这些方法的变种。这四种方法可以分为两类, 前两种都是基于白噪声滤波处理, 而后两种都是基于 功率谱离散数值模拟。
= lim 1 Ty] T
摘要 : 轨道不平顺是列车 - 轨道系统的动力响应的主要影 响因素, 不平顺样本是列车 - 轨道系统动力