2020年浙江省新昌中学、浦江中学、富阳中学高考数学模拟试卷（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x||x|≤1}，Q={x|（x-2）＜0}，那么P∪Q=（）A. （-1，2）B. [-1，2）C. （0，1）D. （0，1]2.已知i为虚数单位，若复数z满足i•z=1+2i，则复数z的模是（）A. B. C. 3 D. 53.已知直线l1：x+y-a=0和12：（a2-2）x-2y+1=0，则“l1⊥12”是“a=2”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A. [，3]B. [0，3]C. [0，]D. [，2]5.函数f（x）=的大致图象为（）A. B.C. D.6.双曲线=1（k＞0，m≠0）的离心率（）A. 与m有关，且与k有关B. 与m有关，但与k无关C. 与m无关，但与k有关D. 与m无关，且与k无关7.已知函数f（x）=（a，b∈R，a＞0），若f（x）的最小值为-，且f（1）≥，则b的取值范围（）A. [-2，-1]B. [1，2]C. [-4，-1]D. [l，4]8.已知数列{a n}满足a1=0，且对任意n∈N*，a n+1等概率地取a n+1或a n-1，设a n的值为随机变量ξn，则（）A. P（ξ3=2）=B. E（ξ3）=1C. P（ξ5=0）＜P（ξ5=2）D. P（ξ5=0）＜P（ξ3=0）9.在三棱锥S-ABC中，AB=5，AC=4，BC≥7，SA≤8，SB≤6，SC≤9，则S-ABC体积的最大值是（）A. 8B.C.D. 1210.P、Q、R是等腰直角△ABC（A为直角）内的点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA，∠ACQ=∠CBQ=∠BAQ，AR和BR分别平分∠A和∠B，则（）A. ＞B. ＞＞C. ＞＞D. ＞＞二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.设函数f（x）=，则f（f（1））=______，f（x）的值域为______．12.若二项式（ax-）5的展开式中各项系数之和为32，则a=______；展开中x-1的系数为______．13.袋中装有编号分别为1，2，3的三个黑球和三个白球，从中取出三个球，则取出球的编号互不相同的取法种数为______；取出球的编号恰有两个相同的概率为______14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c sin C=a sin A+（b-a）sin B且c=1，则C=______，△ABC面积的最大值为______．15.某三棱台的三视图如图所示，则该几何体的体积是______16.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，满足|AF|=2|BF|，则椭圆C离心率的最小值是______17.已知函数，若存在实数t，使f（x）的值域为[-1，1]，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（x）=cos2x+cos x sin（x-）（x∈R）（Ⅰ）当x∈[-，]时，求f（x）的值域；（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的增区间19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，D，E分别为BC，AD的中点，延长CE交AB于点F，现将△ACD沿AD折起，使二面角B-AD-C的平面角大小为30°（Ⅰ）求证：AD⊥CF；（Ⅱ）求直线AB与平面ACD所成角的正弦值20.设等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0，且b1，a2，b2成等差数列，a1+1，b2，a4+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a bn，数列{c n}的前n项和为S n，若＞2a n+t恒成立，求实数t的取值范围．21.如图，已知P（-1，2），Q是抛物线C：y2=4x上的动点，设PQ=2QR，过R的直线交抛物线C于A、B两点，且R是AB中点．（Ⅰ）求Q点纵坐标的取值范围；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．22.设函数f（x）=2x2+a ln x，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x-1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x=5能否有三个不同的实根？证明你的结论-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：已知集合P={x||x|≤1}，解得：P={x|-1≤x≤1}，Q={x|（x-2）＜0}，解得：Q={x|x＜2}，由并集的定义P∪Q={x|-1≤x≤1}∪{x|x＜2}={x|x＜2}即：（-∞，2）故选：B．首先解出P，Q集合中所含的元素，再由集合并集运算的定义求解，此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：A解析：解：由i•z=1+2i，得z=，∴|z|=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：C解析：解：若l1⊥12，则a2-2+1×（-2）=0，即a2-4=0，得a=2或a=-2，则“l1⊥12”是“a=2”的必要不充分条件，故选：C．根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件是解决本题的关键．4.答案：B解析：解：由约束条件作出可行域如图，O（0，0），A（0，3），z=的几何意义为可行域内动点与定点P（-1，0）连线的斜率，∵k PO=0，．∴z=的取值范围是[0，3]．故选：B．由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内动点与定点P（-1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：根据题意，函数f（x）=，则f（-x）===f（x），即函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f′（x）=，分析可得f（x）在（0，+∞）先减后增，故选：D．根据题意，分析函数的奇偶性以及在（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．6.答案：A解析：解：根据题意，双曲线=1（k＞0，m≠0）当m＞0，双曲线=1的焦点在x轴上，此时有a2=km，b2=m，c2=km+m=m（k+1），双曲线的离心率e==，当m＜0时，双曲线=1的焦点在y轴上，此时a2=-m，b2=-km，c2=km+m=-m（k+1），双曲线的离心率e==，则双曲线=1（k＞0，m≠0）的离心率与k、m都有关系，故选：A．根据题意，由双曲线的方程分m＞0与m＜0两种情况讨论，求出双曲线的离心率，分析其离心率与k、m的关系，综合即可得答案．本题考查双曲线的离心率的计算，涉及双曲线的标准方程，属于基础题，7.答案：D解析：解：由题意，可知：f（1）=≥，∵a＞0，∴a+4＞4，∴b≥（a+4）＞＞0．f′（x）==，①令f′（x）=0，即-abx2+4b=0，解得：x=-，或x=；②令f′（x）＞0，即-abx2+4b＞0，解得：＜x＜；③令f′（x）＜0，即-abx2+4b＜0，解得：x＜-，或x＞；又f（x）是一个奇函数，函数f（x）的大致图象如下：≥0则由图象可知：f（x）min=f（-）==-=-，解得：b=，即：a=b2．∴f（1）==≥，∴-≥0，即：≤0，∴b2-5b+4≤0，解得：1≤b≤4．故选：D．本题可利用f（1）≥先大致判断出b＞0，然后对函数f（x）求导，判断函数的增减性及最值的取值情况，再根据所得结果并对函数进行进一步分析画出函数的大致图象，这样可发现当x=-时f（x）取得最小值，可将x=-代入可得a与b的关系式a=b2．代入f（1）≥中可得b的取值范围．本题主要考查利用求导法对函数进行分析，以及运用数形结合法解决函数问题，在此基础上判断函数的最值点，算出参数的取值范围．本题属中档题．8.答案：D解析：解：依题意a2=1或a2=-1，且P（a2=1）=P（a2=-1）=，ξ3=a3的可能取值为a2+1=2，a2-1=0，a2+1=0，a2-1=-2，P（ξ3=2）=×=，，P（ξ3=0）=2×=，P（ξ3=-2）==，E（ξ3）=2×+0×+（-2）×=0，由此排除A和B；ξ4=a4的可能取值为a3+1=3，a3-1=1，a3+1=-1，a3-1=-3，P（ξ4=3）=P（ξ3=2）=，P（ξ4=1）==，P（ξ4=-1）==，P（ξ4=-3）=P（ξ3=-2）=．．ξ5=a5的可能取值为4，2，0，-2，-4．P（ξ5=0）==，P（ξ5=2）==，所以P（ξ5=0）＞P（ξ5=2），排除C．因为P（ξ5=0）=，P（ξ3=0）=，所以P（ξ5=0）＜P（ξ3=0），故选：D．根据题意，分别分析出ξn当n分别取2，3，4，5时所对应的值，以及每个ξn的对应的概率，即可判断出正确选项．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.答案：A解析：解：∵AB=5，AC=4，BC≥7，∴≤，∴sin∠BAC≤，而点S到底面ABC的距离不大于侧棱长，即高h≤6，∴V==，故选：A．以三角形ABC为底面，由余弦定理入手可得面积的最大值，再利用高不大于测棱长得到高的最大值，从而确定体积的最大值．此题考查了四面体体积的求法和运算求解能力，是中档题．10.答案：D解析：解：如图所示，①由∠APB=∠BPC=∠CPA知，这三个角都是120°，且P在∠BAC的平分线AD上；取AB=6，则BD=AD=3，∠PBC=30°，得PD==，PB=2，PA=AD-PD=3-，所以•=（3-）•2•cos120°=6-6；②由题意知R是△ABC的内心，也在AD上，内切圆半径RD===6-3，RA=AD-RD=6-6，所以•=（+）•=•+•=-（6-3）•（6-6）+0=72-54；③由∠ACQ=∠BAQ，且∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=90°，则∠ACQ+∠CAQ=90°，所以∠AQC=90°，即AQ⊥CQ，则Q在以AC为直径的圆上；由∠CBQ=∠ACQ，且∠ACQ+∠BCQ=∠ACB=45°，所以∠CBQ+∠BCQ=45°，得∠BQC=135°，∠AQB=135°；由∠BQC=∠AQB，∠BCQ=∠ABQ，得△BQC∽△AQB，所以==，设AQ=x，BQ=，在△ABQ中，由余弦定理得x2+2x2-62=2•x•x•cos135°，解得x2=；所以•=x•x•cos135°=-x2=-=-7.2；由•=6-6≈6-6×1.732=-19.424，•=72-54≈-4.356，所以•＞•＞•．故选：D．根据题意画出图形，结合图形分别计算•、•和•的值，再比较它们的大小．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的数量积以及推理能力与计算能力，是难题．11.答案：-1 （-∞，1）解析：【分析】推导出f（1）=-log21=0，从而f（f（1））=f（0）=2×0-1=-1，当x＜1时，f（x）=2x-1＜1，当x≥1时，f（x）=-log2x＜0，由此能求出f（x）的值域．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=-log21=0，f（f（1））=f（0）=2×0-1=-1，当x＜1时，f（x）=2x-1＜1，当x≥1时，f（x）=-log2x＜0，∴f（x）的值域为（-∞，1）．故答案为：-1，（-∞，1）．12.答案：3 15解析：解：令x=1，可得二项式（ax-）5的展开式中各项系数之和为（a-1）5=32，则a=3．此时，展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•35-r•，令5-=-1，求得r=4，故展开中x-1的系数为•3=15，故答案为：3；15．由题意先求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-1，求出r的值，即可求得展开中x-1的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13.答案：8解析：解：根据题意，从袋中取出三个球，且取出球的编号互不相同，则取出的三个球的编号为1、2、3，编号为1的取法有2种，编号为2的取法有2种，编号为3的取法有2种，则取出球的编号互不相同的取法种数为2×2×2=8种；从袋中取出三个球，取法有C63=20种，其中取出球的编号恰有两个相同的取法有C31C41=12种，则取出球的编号恰有两个相同的概率P==；故答案为：8，．对于第一空：分析可得取出的三个球的编号为1、2、3，分析每个编号的取法数目，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：由组合数公式计算从袋中取出三个球的取法以及取出球的编号恰有两个相同的取法数目，由古典概型的计算公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及古典概型的计算，属于基础题．14.答案：解析：解：∵c sin C=a sin A+（b-a）sin B，∴c2=a2+（b-a）b，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，，∵C∈（0，π），∴C=，∴sin C=∵c=1，∴c2=1=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，∴ab≤1，当且仅当ab=1时取等号，∴，∴△ABC的最大值为：．故答案为：，．利用正弦定理将等式的角化为边，然后用余弦定理求出C，再利用基本不等式求出ab的最大值即可得三角形的最大面积．本题考查了正弦定理余弦定理和面积公式，关键是基本不等式的应用，属中档题．15.答案：解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱台，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC为等腰直角三角形，△A1B1C1为等腰直角三角形，，S△ABC=2，则该几何体的体积是V=．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为直三棱台，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC为等腰直角三角形，△A1B1C1为等腰直角三角形，再由棱台体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.答案：解析：解：由椭圆性质可知：|AF|≤a+c，|BF|≥a-c，∵存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，满足|AF|=2|BF|，∴a+c≥2（a-c），故3c≥a，于是e≥．故答案为：．根据椭圆性质可知|AF|，|BF|介于a-c和a+c之间，从而列出不等式得出e的范围．本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．17.答案：（，2]解析：解：由已知得t≥-1，函数f（x）=log（1-x）在[-1，t]上为增函数，故其值域为[-1，log（1-t）]；若存在实数t使f（x）的值域是[-1，1]，可得log（1-t）≤1，解得t≥；由y=1-2|x-1|在x=1时，y=1；在x=时，y=0，x=2时，y=-1，可得y=1-2|x-1|在（，1）递增，在（1，2）递减，则＜a≤2．故答案为：（，2]．分别求出两段函数的值域，结合已知条件可得a的范围，求解得答案．本题考查分段函数的值域及其求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+cos x sin（x-）=cos2x+cos x（sin x-cos x）=cos2x+sin x cosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵x∈[-，]∴2x+∈[-，]，则≤sin（2x+）≤1，即≤sin（2x+）+≤，即函数的值域为[，]．（Ⅱ）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]，由≤2x+≤得0≤x≤，此时函数为增函数，由≤2x+≤，得≤x≤π，此时函数为增函数，即所求的增区间为[0，]，[，π]．解析：（Ⅰ）利用辅助角公式结合倍角公式进行化简，求出角的范围结合函数最值关系进行求解即可（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数单调性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数单调性和最值性质进行求解是解决本题的关键．19.答案：证明：（Ⅰ）由条件可得CA=CD=AD，∵E为AD的中点，∴CE⊥AD，EF⊥AD，∴AD⊥面CEF，∴AD⊥CF．（Ⅱ）不妨设AC=1，则BC=2，AB=，由V C-ABD=V B-ACD，得点B到面ACD的距离为h B=，∴直线AB与平面ACD所成角的正弦值为：sinθ===．解析：（Ⅰ）由条件可得CA=CD=AD，从而CE⊥AD，EF⊥AD，进而AD⊥面CEF，由此能证明AD⊥CF．（Ⅱ）设AC=1，则BC=2，AB=，由V C-ABD=V B-ACD，得点B到面ACD的距离为h B=，由此能求出直线AB与平面ACD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q（q＞0）．由b1，a2，b2成等差数列，a1+1，b2，a4+1成等比数列得2a2=b1+b2，b22=（1+a1）（1+a4），即为2（1+d）=2+2q，（2q）2=2（1+1+3d），解得d=q=2．∴a n=2n-1，b n=2n．（Ⅱ）c n=a=2b n-1=2n+1-1，S n=c1+c2+…+c n=（22+23+…+2n+1）-n=-n=2n+2-n-4，==2n+1，可得2n+1＞4n-2+t恒成立，即t＜（2n-4n+3）min．令f（n）=2n-4n+3，则f（n+1）-f（n）=2n-4，所以f（1）＞f（2）=f（3）＜f（4）＜f（5）＜…，故t＜f（2）=-1，即常数t的取值范围是（-∞，-1）．解析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q（q＞0）．分别运用等差数列等比数列中项性质，结合通项公式，解方程可得公差和公比，由此能求出数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）由c n=a=2b n-1=2n+1-1，由数列的分组求和可得S n=22+23+…+2n+1）-n=-n=2n+2-n-4，计算可得2n+1＞4n-2+t恒成立，即t＜（2n-4n+3）min．由数列的单调性可得最小值，由此能求出常数t 的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查常数t的范围的求法，综合性强．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（I）设Q（，y0），则=（，y0-2），∵PQ=2QR，∴==（，），∴R（，），设直线AB的方程为：x=t（y-）+，代入y2=4x可得：y2-4ty+2t（3y0-2）-=0，∴y R=2t=，即t=，∵△=16t2-4[2t（3y0-2）-]=-3y02+12y0+4＞0，∴2-＜y0＜2+．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（I）可知y1+y2=4t=3y0-2，y1y2=2t（3y0-2）-=3y02-6y0，|AB|==，P到直线AB的距离d=，∴S△PAB=×=，令-3y02+12y0=m，则m∈（-4，12]，设f（m）=（m+4）m2，则f′（m）=3m2+8m，令f′（m）＞0，可得m＜-或m＞0，∴f（m）在（-4，-）上单调递增，在（-，0）上单调递减，在（0，12]上单调递增，又f（-）=，f（12）=16×144，故f（-）＜f（12），∴S△PAB的最大值为×==6．解析：（I）设Q（，y0），表示出R的坐标R（，），再设直线AB方程为x=t（y-）+，联立方程组消元，根据根与系数关系和中点坐标公式得出y0和t的关系，令判别式大于零求出y0的范围；（II）求出|AB|，和P到直线AB的距离，得出三角形的面积关于y0的函数，利用换元法和函数单调性求出面积最大值．本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法，考查数学运算能力，属于中档题．22.答案：解：（I）∵f（x）=2x2+a ln x，∴f′（x）=4x，由题意可得，f′（1）=2，f（1）=2∴4+a=2，2+m=2∴a=-2，m=0，（II）∵f（2x-1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，2（2x-1）2+a ln（2x-1）+2＞2（2x2+a ln x），整理可得，4（x-1）2-a[2ln x-ln（2x-1）]＞0对任意x∈[2，+∞）恒成立，∴4-a（n4-ln3）＞0即a当a时，4（x-1）2-a[2ln x-ln（2x-1）]设g（x）=4（x-1）2-，则g′（x）=8（x-1）[（2x2-x）-]∵x≥2，∴x-1＞0，，∴g′（x）＞0，即g（x）单调递增，g（x）＞g（2）=0综上可得，a（III不可能有三个不同的实根，证明如下：令g′（x）=f（x）+2cos x，若g（x）=5有三个不同的实数根，则g（x）至少要有三个单调区间，则g′（x）=0至少有两个不等实根，所以只要证明g′（x）=0在（0，+∞）至多1个实根，g′（x）=4x，g′′（x）=4-2cos x-∵，∴g′′（x）＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）=0至多1个根，当a≥0时，（4x-2sin x）′=4-2cos x＞0，∴y=4x-2sin x在（0，+∞）上单调递增，∴y=4x-2sin x＞0，又因为a≥0时，∴＞0，g′（x）=0g′（x）在（0，+∞）上没有实数根综上可得，g′（x）=0（0，+∞）上至多一个实数根，得证解析：（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解（II）∵f（2x-1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，可转化为求解函数的最值问题，结合函数在区间[2，+∞）上单调性即可求解（III）结合函数的导数与函数单调性的关系及函数的零点判定定理可证本题主要考查了导数的几何意义的应用及函数单调性与导数关系的综合应用，属于难题。