1916 2.09 3.61 1.86
1917 1.96 4.10 1.93
1918 2.20 4.36 1.96
1919 2.12 4.77 1.95
1920 2.16 4.75 1.90
1921 2.08 4.54 1.58
1922 2.24 4.54 1.67
1923 2.56 4.58 1.82
《数学建模》上机实验报告
一．实验目的
[1]了解最小二乘拟合的基本原理和方法；
[2]掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；
[3]通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题。
[4]了解各种参数辨识的原理和方法；
[5]通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程；
2.数学模型
(1).由 解得x(t)=x0*e^(rt)
lnx(t)=lnx0+rt => y=a+rt (y=lnx(t),a=lnx0)
(3).由于产值Q、资金K、劳动力L之间满足关系Q(K,L) = aKαLβ， 0<α,β<1，可用curvefit()做数据拟合
3.算法与编程
(1).t=[1790:10:1980];
y=[1.041.061.161.221.27 1.37 1.441.531.572.05 2.512.632.742.823.243.243.61 4.10 4.36 4.774.754.54 4.54 4.584.584.584.54];
x0=[0.1,0.1,0.2];
x=curvefit(‘curvefun’,x0,y,a)
765
538
484
290
226
204
3．经济增长模型 增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。
r=[0:19];
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5];
plot(t,x,'o');
y=log(x);
p=polyfit(r,y,1)
curvefun.m
function a=curvefun(x,y)
a=x(1) * (y(1,:).^x(2)).*(y(2,:) .^x(3));
4.计算结果
(1).p =0.21421.7213
(2)a =1.0e+003 *0.0361 -0.6508 3.1523b = 955.7047
(3).x=1.2246 0.4612 -0.1277
(2)clear
x=1:10;
y=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];
plot(x,y,'*')
a=polyfit(x,y,2)
b=polyval(a,4.5)
(3).clear
a=[1.051.181.29 1.301.30 1.421.501.521.461.601.691.81 1.931.952.012.00 2.091.962.202.122.162.082.24 2.562.342.452.58];
需要先求微分方程的解，再用数据拟合模型中的参数。
2．旧车价格预测 某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yi
2615
1943
1494
1087
1924 2.34 4.58 1.60
1925 2.45 4.58 1.61
1926 2.58 4.54 1.64
提示：由于（*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。
5.分析、检验和结论
(1).由结果得出y=0.2142t+1.7213 所以lnx0=1.7213 => x0=5.5918
所以x(t)=5.5918*e^(0.2141t)
(2).所以使用4.5年后轿车的平均价格大致为955.7
(3).所以 Q(K,L)=1.2246K^(0.4612)L^(-0.1277)
从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如下表：
年 份
1790
1800
1810
1820
1830
18401850Βιβλιοθήκη 人口(×106)3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年 份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口(×106)
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年 份
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口(×106)
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进。
提示：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r。记时刻t的人口为x(t），（即x(t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
Q(K,L) = aKαLβ， 0<α,β<1 （*）
式中α,β，a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。
通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二．实验内容
1.问题
1．数据拟合Malthus人口指数增长模型中参数
t Q K L
t Q K L
1900 1.05 1.04 1.05
1901 1.18 1.06 1.08
1902 1.29 1.16 1.18
1903 1.30 1.22 1.22
1904 1.30 1.27 1.17
1905 1.42 1.37 1.30
1906 1.50 1.44 1.39
1907 1.52 1.53 1.47
1908 1.46 1.57 1.31
1909 1.60 2.05 1.43
1910 1.69 2.51 1.58
1911 1.81 2.63 1.59
1912 1.93 2.74 1.66
1913 1.95 2.82 1.68
1914 2.01 3.24 1.65
1915 2.00 3.24 1.62