A
P 2 T P 1
A
（2-23）
齐次坐标变换总结：
1. 它是坐标系的描述。 A A T R 表示坐标系 {B}在坐标系{A}下的描述， 的各列是坐标系 B B A P Bo {B}三个坐标轴方向的单位矢量， 而表示坐标系 {B}原点位置 。 B 2. 它是不同坐标系间的坐标变换。如 APA T P B A A P 3.它是同一坐标系内的变换算子。 2 T P 1 齐次坐标变换是复杂空间变换的基础，必须认真理解和掌握。具体应 用的关键是理解它代表的是上面三种含义的哪一种，而不是简单的套用 公式！
坐标系{B}与机械手末端工具固连，工具的姿态 可以由坐标系{B}的方向来描述。而坐标系{B}的方 向可以用沿三个坐标轴的单位矢量来表示
A B
R

A
X B
A
Y B
r r r 11 12 13 A Z r r r B 21 22 23 r r r 31 32 33
B T
（2-6）
图2-4旋转变换
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐 标系之间的旋转变换实现的。
5
3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移 又存在旋转，如何计算同一个空间点 在两个坐标系下描述的变换关系？ 为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
A B
ZB
ZA
A
P(BP) YB
A A A
p p p
x y z

B B B
X Y Z
T B A T B A T B A
Pห้องสมุดไป่ตู้P P
（2-5）
YA XA XB
将（2-5）式写成矩阵形式得：
XA B T B A A B P Y A P B R P BZT A
8
其中I是33单位矩阵。例如若AQ=ai+bj+ck， 其中i、j和k分别表示坐标系{A}三个坐标轴的 单位矢量，则平移算子表示为
同样，我们可以研究矢量在同一坐标系下的旋转 变换，如图2-9，AP1绕Z轴转q角得到AP2。则
A
YA
A
P Rot ( z , q ) P 2 1
A
P2
A
（2-20）
机器人的空间 描述与坐标变 换
2.1位置方位表示与坐标系描述

1.位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其 中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述 的。 p
A
ZA
A
P
OA XA
p
p p
x
YA
y z

（2-1）
图 2 1 位 置 表 示

2.方位描述

（2-2）
图2-2方位表 示
2
3.位姿描述
固连坐标系把刚体位姿描述问题转化为坐标系的描述问题。图2-3 中坐标系{B}可以在固定坐标系{A}中描述为
{ B } R B

A
A
p Bo

A
（2-3）
P 描述坐标系 {B}的原点位 Bo
旋转矩阵 BA 描述坐标系 {B}的姿态，矢量 R 置。
3
2.2平移和旋转坐标系映 射
1.平移坐标变换
BP为坐标系{B}描述的某一空间位
{B}
置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描 述同一空间位置。因为两个坐标系具有 相同的姿态，同一个点在不同坐标系下 的描述满足以下关系
A
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
P P P B o
B
A
（2-4）
OA
图2-3平移变换
4
2.旋转坐标变 换
旋转坐标变换的任务是已知坐标系{B}描述的 R 一个点的位置矢量BP和旋转矩阵 ，求在坐标 系{A}下描述同一个点的位置矢量AP。
C
{B}
{C}
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
OA
P RP RP B B
C A AB A
C B
A B
图2-5复合变换 （2-7） （ 2-8）
A
P P P R P P C o B B o
为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，只需坐标系{B} 在坐标系 下{A}的描述。
6
2.3齐次坐标变换
1.齐次变换
坐标变换（2-8）可以写成以下形式
P BR 1 0
A A A
P P Bo 1 1
B
（2-9）
将位置矢量用41矢量表示，增加1维的数值恒为1，我们仍然用原 来的符号表示4维位置矢量并采用以下符号表示坐标变换矩阵
A
B R T B 0
cq 0 Rot ( y, q ) sq 0
0 1 0 0
sq 0 cq 0
0 0 0 1
9
定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射 关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描 述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。
0 0 0 1
Rot(z,q)称为旋转算子，其表达式为
cq sq Rot ( z , q ) 0 0 sq cq 0 0 0 0 1 0
q
ZA
P1 XA
（2-21）
图2-7旋转算子
同理，可以得到绕X轴和Y轴的旋转算子
1 0 Rot ( x, q ) 0 0 0 cq sq 0 0 sq cq 0 0 0 0 1
A
A
A
P P Q 2 1
A
A
{A}
A
A
P2
A
P1
P1
P Trans ( Q ) P 2 1
A
A
（2-13）
O
A
Q
Trans ( Q)
A
称为平移算子，其表达式为
A
I Trans ( Q ) 0
Q 1
（2-14）
图2-6平移算子
1 0 Trans ( a , b, c ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
A A B
A
A
PBo 1
PBT P
（2-10 ） （2-11）
T 4矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。可以理解为坐标系{B}在固定坐 是 4 标系{A}中的描述。
A B
齐次坐标变换的主要作用是表达简洁，同时在表示多个坐标变换 的时候比较方便。
7
2.齐次变换算子
在机器人学中还经常用到下面的变换，如图2-8，矢量AP1沿矢量 AQ平移至的AQ终点，得一矢量AP2。已知AP 和AQ求AP 的过程称之为 1 2 平移变换，与前面不同，这里只涉及单一坐标系。 （2-12） 可以采用齐次变换矩阵表示平移变换