23．（18分）
当平行板电容器的两极板间是真空时，电容C 与极板的正对面积S 、极板间距离d 的关系为
4S
C πkd
=。

对给定的平行板电容器充电，当该电容器极板所带电荷量Q 变化时，两极板间的电势差U 也随之变化。

（1）在图14所示的坐标系中画出电容器带电量Q 与极板间电势差U 的关系图像。

（2）电容器储存的电能等于电源搬运电荷从一个极板到另一个极板过程中，克服电场力所做的功。

在
弹簧弹力F 与形变量x 关系图像中，图像与x 轴围成的面积代表弹簧弹性势能的大小。

与之类比，推导电容器储存的电能表达式21
2E CU =。

（3）若保持平行板电容器带电量Q 、极板正对面积S 不变，两极板间为真空，将板间距离由d 1增大到
d 2，需要克服电场力做多少功？
（1）对于给定的电容器，Q=CU ，Q －U 图像如图所示。

（3分）
（2）该图像的斜率为电容器电容C ，图像与横坐标轴围成的面积为对电容器充电过程中，电容器储存
的电能。

故1
2
E QU = （3分） 由Q=CU （2分）
得：21
2
E CU =
（3）板间距离为d 时，平行板电容器的电容为4πS C kd
=
当电容器带电量为Q 时，两板间电压Q U C =
（3分）
得电容器储存的电能为2
2πkdQ E S =
（3分）
当板间距离由d 1增大到d 2时，电容器储存的电能增加量为
2
21212π()
kQ E E E d d S ∆=-=-
（3分）
故需要克服电场力做功2
212π()kQ W E d d S =∆=-
（1分）
23．（18分）如图1所示，在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道
MN 、PQ 固定在水平面内，相距为L 。

一质量为m 的导体棒ab 垂直于MN 、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。

轨道和导体棒的电阻均不计。

（1）如图2所示，若轨道左端MP 间接一阻值为R 的电阻，导体棒在水平向右的恒力F 的作用下由静
止开始运动。

求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。

（2）如图3所示，若轨道左端MP 间接一电动势为E 、内阻为r 的电源和一阻值为R 的电阻。

闭合开
关S ，导体棒从静止开始运动。

求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。

（3）如图4所示，若轨道左端MP 间接一电
容器，电容器的电容
为C ，导体棒在水平向右的恒力F 的作用下从静止开始运动。

求导体棒运动过程中的加速度的大小。

（1）导体棒ab 向右做加速度减小的加速运动，当安培力与外力F 平衡时，导体棒ab 达到最大速度v 1
BIL =F （3分）
E
I R
=
（1分） E =BLv 1 （1分） 解得122
FR
v B L
=
（1分） （2）闭合开关后，导体棒ab 产生的电动势与电阻R 两端的电压相等时，导体棒ab 达到最大速度v 2
E
I R r
=
+ （1分） U IR = （2分） 2U BLv = （2分）
解得2()
ER
v BL R r =
+ （1分）
（3）导体棒ab 向右加速运动，在极短时间△t 内，导体棒的速度变化△v ，根据加速度的定义 v
a t
∆=
∆（1分） F
B
R M N
Q
P
b
a
图2
B
M
N
Q
P
b
a
图4
C B
M
N
Q
P
b a
图1
R
E B
M N
Q
P
b a
图3
S
r
导体棒产生的电动势变化△E =BL △v ，电容器增加的电荷△q =C △E =CBL △v 根据电流的定义
q
I t
∆=
∆（1分） 解得I =CBLa （1分）
导体棒ab 受到的安培力F 安=BIL =B 2L 2Ca （1分） 根据牛顿第二定律F -F 安=ma （1分） 解得22
F
a m CB L
=+（1分）
3.a ．小明以6m/s 的初速度将足球水平踢出，足球在草
坪上滚动直到停下来的全过程中的速度-时间图像如图1所示。

图1中图线与
坐标轴所围的面积等于12个小方格的面积。

（1）请你判断：足球在滚动过程中受到的阻力大小是变大、
变小还是不变？
（2）求足球滚动了多远才停下来？
b ．用如图2所示的电路研究电容器的放电过程，其中电压传感器相当于一个理想电压表，可以显示电阻箱两端电压随时间的变化关系。

实验时将电阻箱R 的阻值调至2000Ω，将开关S 拨到a 端，电源向电
容器充电，待电路稳定后，将电压传感器打开，再将开关S 拨到b 端，电容器通过电阻箱放电。

以S 拨到
b 端时为t =0时刻，电压传感器测得的电压U 随时间t 变化图像如图
3所示。

忽略导线及开关的电阻，且不考虑电路的辐射问
题。

容器充电过程中电源内部产生的热量。

图2
E,r
C
R S
a b 电压传感器
5
10
15
8642
2
46t/s
v/ms
-1
0图1
5
10
15
8
6
42
y = f (x )
图3
0U/V
t/s
∙
（1）足球在滚动过程中受到的阻力变小。

（2）图1中图线与坐标轴所围的面积即为足球滚动距离，足球滚动了12m 才停下来。

b ．（1）在电容器放电过程中的任意瞬时有：t I Q ∆∆= 根据欧姆定律有 R
U
I =
U -t 图线与t 轴所围面积除以电阻R 即为电容器所带电荷量的最大值，由图可知该面积等于12个小方
格的面积。

因此电容器所带电荷量的最大值 C －3
10×
6=Q （2）电容器所带电荷量Q 与其两端电压U 成正比，且由图3知电容器所带电荷量最大时，电容器两端电压U =6V 。

电源
电动势E =6V 。

放电过程中电容器两端电压U 随电荷量Q 变化的关系图像
如答图1所示。

电容器放电过程中任意瞬时释放的电势能Q U
E c ∆∆= U -Q 图线与Q 轴所围面积为电容器放电过程中释放的总电势能E c ，也是电容器在充电时获得的总电势
能。

即 mJ 18=c E
电容器充电过程中，非静电力做功提供的总能量 mJ 总36==EQ E 电容器充电过程中电源内部产生的热量mJ －总18==c r E E Q 说明：其他方法正确同样给分。

23.（18分） 如图，在竖直向下的磁感应强度为B =1.0T 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN 、
PQ 固定在水平面内，相距为L =0.4m 。

一质量为m =0.2kg 、电阻R 0=0.5Ω的导体棒ab 垂直于MN 、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。

若轨道左端P 点接一电动势为E =1.5V 、内阻为r =0.1Ω的电源和一阻值R =0.3Ω的电阻。

轨道左端M 点接一单刀双掷开关K ，轨道的电阻不计。

求：
5
10
15
8642
2
4
6810
Q/10-3C
U/V
图4
5
10
15
8
6
42
2
46
8
10
∙
Q/10-3C
U/V
0图4答图1
（1）单刀双掷开关K 与1闭合瞬间导体棒受到的磁场力F ； （2）单刀双掷开关K 与1闭合后导体棒运动稳定时的最大速度v m ； （3）导体棒运动稳定后，单刀双掷开关K 与1断开，然后与2闭合，求此后能够在电阻R 上产生的电热Q R 和导体棒前冲的距离X 。

解 (1) I =
r
R E
0+ = 2.5 A
F = BIL = 1 N （6分）
(2) 导体运动稳定后
E = BLv m = 1.5 v v m = 3.75 m/s (6分
) (3)单刀双掷开关K 与2闭合后，电路中产生的总电热Q
Q =
2
1
m v m 2 = 1.4 J 在电阻R 上产生的电热Q R = 0
R R R
+ Q = 0.53 J
在此过程中 Ft = m v m
即 0
22R R X L B += m v m
X = 3.75 m （6分）
K
1 2 a b
R
M N
P
Q
E。