27．1 图形的相似知识点1 相似图形1．下列选项中，哪个才是相似图形的本质属性()A．大小不同B．大小相同C．形状相同 D．形状不同2．下列各组图形相似的是()知识点2 比例线段3．下列各线段的长度成比例的是()A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm4．在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是km.知识点3 相似多边形5．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为()A.23B.32C.49D.946．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为()A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm7．如下的各组多边形中，相似的是()A．(1)(2)(3) B．(2)(3)C．(1)(3) D．(1)(2)8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，这次复印的放缩比例是．9．如图所示是两个相似四边形，求边x、y的长和α的大小．10．已知三条线段的长分别为1 cm、2 cm、 2 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为 . 11．下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的．其中正确的说法有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个12．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是()A．2DE＝3MNB．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠FD．2∠A＝3∠F13．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，α＝，m＝.14．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．15．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试说明你的结论．16．如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？参考答案：1．C2．B3．D4．2.8 .5．A6．C7．B8．1∶3．9．解：∵两个四边形相似，∴ADA′D′＝BCB′C′＝ABA′B′，即416＝6x＝7y.∴x＝24，y＝28.∵∠B＝∠B′＝73°，∴α＝360°－∠A－∠D－∠B＝83°.102__cm或2__cm. 11．D12．B13．α＝125°，m＝12.14．解：如图所示．15．解：(1)设矩形地砖的长为a cm ，宽为b cm ，由题图可知4b ＝60，即b ＝15.因为a ＋b ＝60，所以a ＝60－b ＝45，所以矩形地砖的长为45 cm ，宽为15 cm. (2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a ＝2×45＝90(cm )，宽为60 cm ，所以长宽＝9060＝32，而a b ＝4515＝31，32≠31，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．所以它们不相似． 16．解：(1)不相似，AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18， 而2830≠1820， 故矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似． (2)矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似， 则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB .即30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230.解得x ＝1.5或9，故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似．27.2 相似三角形（满分120分；时间：120分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，点D 在AC 上，且AD =2，如果要在AB 上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为()A.8 3B.32C.3D.83或322. 在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD:BD=1:2，那么下列条件中能够判断DE // BC的是（）A.DEBC =12B.DEBC=13C.AEAC=12D.AEAC=133. 能说明△ABC和△A1B1C1相似的条件是（）A.AB:A1B1=AC:A1C1B.AB:A1C1=BC:A1C1且∠A=∠C1C.AB:A1B1=BC:A1C1且∠B=∠A1D.AB:A1B1=AC:A1C1且∠B=∠B14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为()A.3 2B.92C.3√32D.3√35. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，AB=10，BD=6，则BC的值为()A.185B.2√5 C.1003D.5036. 已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（）A.45cm，65cmB.90cm，110cmC.45cm，55cmD.70cm，90cm7. 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D，E，F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是()A.△ACDB.△ADFC.△BDFD.△CDE8. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为()m．A.2B.4C.6D.89. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上一点，下面有四个条件：(1)ADAB =AEAC；(2)DBAB=ECAC；(3)ADDB=AEEC；(4)ADDB=DEBC．其中一定能判定DE // BC有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10. 如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中相似三角形的对数是（）A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似（相似比不为1）．________．12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED=∠B，且AG:GF=2:1，则DE:BC=________．13. 在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D，若AD=3，BD=1．则∠ABC的度数为________度．14. 如图，已知△ABC中，DE // BC，连接BE，△ADE的面积是△BDE面积的1，则2S△ADE:S△ABC=________．15. 如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角）．AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D．若AE=4，BE=8，CD=6．则CE=________．16. 如图，AB⊥BC于B，AC⊥CD于C，添加一个条件：________，使△ABC∽△ACD．17. 四边形ABCD中，AD // BC，∠A=90∘，AD=2cm，AB=7cm，BC=3cm，试在AB边上确定P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似，则AP的长是________cm.18. 如图，C、D是△PAB的边AB上的两点，以CD为边作平行四边形CDEF，EF经过点P，且∠APB=∠ADE．试写出四对相似三角形________．三、解答题（本题共计8 小题，共计66分，）19. 已知，如图，D为△ABC的边BC的中点，O为AD上的任一点，CD的延长线交AB于点E，BD的延长线交AC于点F，求证：EF // BC．20. 已知，如图，ABBD =BCBE=CAED，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？21. 如图，已知AB:AC=AE:AD．求证：△ODB∽△OEC．22. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高线，∠BAC的平分线交BC，CD于点E，F，求证：△ABE∽△ACF．23. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC =DFCG．(1)求证：△ADF∼△ACG；(2)若ADAC =12，求AFFG的值．24. 如图，已知：梯形ABCD中，AD // BC，AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，点F在DE上，且DFEF =AOOC．求证：OF // BC．25. 如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=7.2m，窗口高AB=1.8m．求窗口底边离地面的高BC．26. 定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格点上的线段叫做格点线．如图1，在正方形网格中，格点线DE、CE将格点四边形ABCD分割成三个彼此相似的三角形．请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三个彼此相似的三角形．参考答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1. 【答案】 D 【解答】解：∵ ∠A 是公共角， ∵ 当AEAB =ADAC，即AE 8=26时，△AED ∼△ABC ， 解得：AE =83； 当AE AC=AD AB，即AE 6=28时，△ADE ∼△ABC ，解得：AE =32， ∵ AE 的长为：83或32．故选D . 2. 【答案】 D 【解答】 解：如图，可假设DE // BC ，则可得AD DB=AE EC=12，AD AB=AE AC=13，但若只有DEBC =ADAB =13，并不能得出线段DE // BC ．故选D ．3. 【答案】【解答】解：∵ 相似三角形的判定定理之一是：有①两边对应成比例，且②夹角相等的两个三角形相似，①②两个条件缺一不可，∵ A、只符合条件①，不符合条件②，即这两个三角形不相似，故本选项错误；B、符合条件①，但是夹角是∠B=∠A1，不是∠A=∠C1，即这两个三角形不相似，故本选项错误；C、符合条件①②，即这两个三角形相似，故本选项正确；D、符合条件①，但是夹角是∠A=∠A1，不是∠B=∠B1，即这两个三角形不相似，故本选项错误；故选C．4.【答案】A【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，∵ AC2=AD⋅AB.又∵ AC=3，AB=6，∵ 32=6AD，则AD=32．故选A．5.【答案】D【解答】解：根据射影定理得：AB2=BD×BC，∵ BC=1006=503．故选D．6.【答案】【解答】解：∵ 两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，∵ 两个相似三角形的相似比为9:11，∵ 两个相似三角形的周长比为9:11，设两个相似三角形的周长分别为9x、11x，由题意得，11x−9x=20，解得，x=10，则这两个三角形的周长分别为90cm，110cm，故选：B．7.【答案】C【解答】解：由网格可知：AB=2√2，BC=4，AC=2√10，BD=1，DF=√2，BF=√5，则BDAB =DFBC=BFAC=√24，故与△ABC相似的三角形是△BDF．故选C．8.【答案】B【解答】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90∘，ED=2，FD=8；∵ ∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90∘∵ ∠ECD=∠CFD∵ Rt△EDC∽Rt△FDC，有EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故选：B．9.【答案】C【解答】解：根据对应线段成比例两直线平行，有ADAB =AEAC，DBAB=ECAC，ADDB=AEEC，得到(1)(2)(3)正确，(4)的线段不对应（如图所示）DE′=DE时，DE′不平行于BC，所以不正确．故选C．10.【答案】D【解答】解：∵ AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，∵ ∠ADB=∠CEB=90∘，而∠AFE=∠CFD，∵ ∠A=∠C，∵ Rt△AFE∽Rt△CFD∽Rt△ABD∽Rt△CBF．故选D．二、填空题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】答案如图【解答】解：如图所示：12.【答案】2:3【解答】解：∵ ∠AED=∠B，而∠DAE=∠CAB，∵ △ADE∽△ACB，∵ DEBC =AGAF，∵ AG:GF=2:1，∵ DEBC =AGAF=23．故答案为2:3．13.【答案】60∘【解答】解：由射影定理得，CD2=AD⋅DB=3，则CD=√3，tan∠B=CDDB=√3，则∠ABC=60∘．故答案为：60∘．14.【答案】1:9【解答】解：∵ △ADE的面积是△BDE面积的12，∵ ADBD =12，∵ ADAB =13，∵ DE // BC，∵ △ADE∼△ABC，∵ S△ADES△ABC =(ADAB)2=(13)2=19.故答案为：1:9．15.【答案】2【解答】解：由镜面反射对称可知：∠A=∠B，∠AEC=∠BED．∵ △AEC∽△BED．∵ AEBE =CEDE．又∵ AE=4，BE=8，CD=6，∵ 48=CE6−CE，求得EC=2．故答案为：2．16.【答案】∠BAC=∠CAD或∠BCA=∠CDA或ABBC =ACCD【解答】解：∵ AB ⊥BC 于B ，AC ⊥CD 于C ， ∵ ∠ABC =∠ACD =90∘，∵ 当∠BAC =∠CAD 或∠BCA =∠CDA 或AB BC=AC CD时，△ABC ∽△ACD ． 故答案为：∠BAC =∠CAD 或∠BCA =∠CDA 或AB BC=AC CD．17. 【答案】 1, 6或145【解答】解：①若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，即△APD ∽△BCP ， ∵ ADBP =APBC ， ∵27−AP =AP 3，∵ −AP 2+7AP −6=0， ∵ AP =1或AP =6，检测：当AP =1时，由BC =3，AD =2，BP =6， ∵ APBC =ADBP ，又∵ ∠A =∠B =90∘，∵ △APD ∽△BCP ． 当AP =6时，由BC =3，AD =2，BP =1， 又∵ ∠A =∠B =90∘， ∵ △APD ∽△BCP ．②若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，即△APD ∽△BPC ． ∵ APBP =ADBC ， ∵ AP7−AP =23， ∵ AP =145．检验：当AP =145时，由BP =215，AD =2，BC =3，∵ APBP =ADBC ，又∵ ∠A =∠B =90∘， ∵ △APD ∽△BPC ．故答案为：1，6或145．18.【答案】△PMF∽△AMC；△AMC∽△ABP；△PMF∽△ABP；△BDN∽△PEN【解答】解：△PMF∽△AMC；△AMC∽△ABP；△PMF∽△ABP；△BDN∽△PEN，∵ 平行四边形CDEF，∵ EF // AB，CF // ED，∵ ∠F=∠MCA，∠FPM=∠A，∵ △PMF∽△AMC；∵ ∠A=∠A，∠ACM=∠ADE=∠APB，∵ △AMC∽△ABP；∵ ∠F=∠ACM=∠APB，∠FPM=∠A，∵ △PMF∽△ABP；∵ EF // AB，∵ ∠E=∠NDB，∠EPN=∠B，∵ △BDN∽△PEN．故答案为：△PMF∽△AMC；△AMC∽△ABP；△PMF∽△ABP；△BDN∽△PEN三、解答题（本题共计8 小题，每题10 分，共计80分）19.【答案】证明：∵ D为△ABC的边BC的中点，∵ BD=CD，∵ S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，∵ S△ABO=S△ACO，∵ AEBE =S△ACES△BCE=S△AOES△BOE=S△ACE−S△AOES△BCE−S△BOE=S△AOCS△BOC，同理可得AFCF =S△AOBS△BOC，∵ AEBE =AFCF，∵ EF // BC．【解答】证明：∵ D为△ABC的边BC的中点，∵ BD=CD，∵ S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，∵ S△ABO=S△ACO，∵ AEBE =S△ACES△BCE=S△AOES△BOE=S△ACE−S△AOES△BCE−S△BOE=S△AOCS△BOC，同理可得AFCF =S△AOBS△BOC，∵ AEBE =AFCF，∵ EF // BC．20.【答案】∵ ABBD =BCBE=CAED，∵ △ABC∽△DBE，∵ ∠ABC＝∠DBE，∵ ∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∵ ABBD =BCBE，∵ ABBC =BDBE，∵ △ABD∽△CBE．【解答】∵ ABBD =BCBE=CAED，∵ △ABC∽△DBE，∵ ∠ABC＝∠DBE，∵ ∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∵ ABBD =BCBE，∵ ABBC =BDBE，∵ △ABD∽△CBE．21.【答案】证明：∵ AB:AC=AE:AD，即AB:AE=AC:AD，∠A为公共角，∵ △ACD∽△ABE，∵ ∠BDO=∠CEO，又∵ ∠BOD=∠COE，∵ △ODB∽△OEC．【解答】证明：∵ AB:AC=AE:AD，即AB:AE=AC:AD，∠A为公共角，∵ △ACD∽△ABE，∵ ∠BDO=∠CEO，又∵ ∠BOD=∠COE，∵ △ODB∽△OEC．22.【答案】证明：∵ ∠ACB＝90∘，∠CDB＝90∘，∵ ∠ACD＝90∘−∠DCB，∠B＝90∘−∠DCB，∵ ∠ACD＝∠B，∵ AE平分∠CAB，∵ ∠CAE＝∠EAB，∵ △ACF∽△ABE．【解答】证明：∵ ∠ACB＝90∘，∠CDB＝90∘，∵ ∠ACD＝90∘−∠DCB，∠B＝90∘−∠DCB，∵ ∠ACD＝∠B，∵ AE平分∠CAB，∵ ∠CAE＝∠EAB，∵ △ACF∽△ABE．23.【答案】(1)证明：∵ ∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，∵ △ADE∼△ACB，∵ ∠ADF=∠C．又∵ ADAC =DFCG，∵ △ADF∼△ACG．(2)解：∵ △ADF∼△ACG，∵ ADAC =AFAG．∵ ADAC =12，∵ AFAG =12，∵ AFFG =AFAG−AF=1．【解答】(1)证明：∵ ∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，∵ △ADE∼△ACB，∵ ∠ADF=∠C．又∵ ADAC =DFCG，∵ △ADF∼△ACG．(2)解：∵ △ADF∼△ACG，∵ ADAC =AFAG．∵ ADAC =12，∵ AFAG =12，∵ AFFG =AFAG−AF=1．24.【答案】证明：∵ AD // BC，∵ AOCO =DOBO，∵ DFEF =AOOC，∵ DOBO =DFEF，∵ DODB =DFEF，∵ ∠ODF=∠BDE，∵ △DOF∽△DBE，∵ ∠DOF=∠DBE，∵ OF // BC．【解答】证明：∵ AD // BC，∵ AOCO =DOBO，∵ DFEF =AOOC，∵ DOBO =DFEF，∵ DODB =DFEF，∵ ∠ODF=∠BDE，∵ △DOF∽△DBE，∵ ∠DOF=∠DBE，∵ OF // BC．25.【答案】窗口底边离地面的高BC为3m．【解答】解：∵ BF // AE，∵ △CBF∽△CAE，∵ CBCA =CFCE，即CBCB+1.8=7.2−2.77.2，∵ BC=3(m)．26.【答案】解：(1)作答如图所示图2中，连接AC、CE，得△ABC∽△CDE∽△ECA，相似比为√2:2；图3中，连接BE、CE，得△BCE∽△EBA∽△CED，相似比为√2:2．【解答】解：(1)作答如图所示图2中，连接AC、CE，得△ABC∽△CDE∽△ECA，相似比为√2:2；图3中，连接BE、CE，得△BCE∽△EBA∽△CED，相似比为√2:2．27.3 位似（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在平面直角坐标系中，A(3,4)，B(−2,3)，C(−4,−2)，以原点为位似中心，将△ABC扩大到原来的3倍，若A点的对应点坐标为(9,12)，则B点的对应点的坐标为()A.(6,−9)B.(−6,9)C.(6,9)D.(−6,−9)2. 在平面直角坐标系中，点A(6,3)，以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来的1得到线段OC，则点C的坐标为()3A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)3. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点(a, b)对应大鱼上的点( )A.(−2a, 2b)B.(−2a, −2b)C.(−2b, −2a)D.(−2a, −b)4. 在如图所示的网格中，正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，则位似中心是()A.点O或点MB.点O或点NC.点P或点MD.点P或点N5. 如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A.点OB.点PC.点MD.点N6. 点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为（）A.点EB.点FC.点HD.点G7. 如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OA′=2:3，四边形ABCD的面积等于4,则四边形A′B′C′D′的面积为(）A.3B.4C.6D.98. 在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(−4,2)，B(−4,0)，O(0,0)，，得到△CDO，则点A的对应点C的坐以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12标是()A.(−2,1)B.(2,2)C.(−2,1)或(2,−1)D.(2,2)或(−2,−2)9. 下列各组图形中不是位似图形的是()A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A′B′C′若点A和它的对应点A′的坐标分别为(2,5),(−6,−15)，则△A′B′C′与△ABC的相似比为()A.−3B.3C.13D.−13二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．12. 如图，在Rt△ABC∠B=90∘,AB,=3,BC=4，点D、E分别是AC，BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，C′F，交BC于点G，当△CFG，△ABC相似时，CF的长为________．13. 在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2, 4)，B(−4, 0)，O(0, 0)．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________．14. 大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍，小矩形的面积是5cm2，大矩形的长为5cm，则大矩形的宽为________cm．15. 已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2,6)，B(4,2)，C(6,2)，D(6,4)，以0为位似中心，作四边形A′B′C′D′位似与四边形ABCD位似，对应边的比为12，则点A′、B′、C′、D′的对应点的坐标分别为________，________，________，________.16. 把一个三角形变成和它位似的另一个三角形，若边长缩小到12倍，则面积缩小到原来的________倍．．若五边形ABCDE 17. 如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为12的，面积为20cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为________．18. 在△ABC中，AB=BC,∠B=90∘，将△ABC沿BC方向平移，得到△A′CC′，以C为位似的值为中心，作△DEC与△ABC位似，位似比为1:2，F为CC′的中点，连接DF, A′F,则A′FDF________.19. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3，已知AB=4，则DE的长为________．20. 如图，△ABC的顶点在格点上，且点A(−5, −1)，点C(−1, −2)．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出________放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0, 3)，B(3, 4)，C(2, 2)．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）请以点B为位似中心，在网格中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2:1，并求出△A1B1C1的面积．22. 如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为(3,1)，(2,−1).(1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD.（要求：新图与原图的相似比为2:1)；(2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标；(3)若线段AB上有一点P(m,n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为________.23. 如图，在平面直角坐标系中，A(2, 1)，B(1, −2)．(1)画出△OAB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的△O1A1B1;(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2:1;(3)判断△O1A1B1与△OA2B2是否关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标.24. 如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3, −1)、(2, 1)．(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．25. 如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP=∠CBP.(1)求证：△ADP∼△BCP；(2)△ADP与△BCP是不是位似图形？并说明理由；(3)若AB=8，CD=4,DP=3，求AP的长．26. 如图，已知O是原点，B、C两点的坐标分别为(3, −1)，(2, 1).(1)以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形并写出点B，C的对应点的坐标；(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(a, b)，写出点M的对应点M′的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：∵ 以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，点A(3,4)的对应点是(9,12)，则点B(−2,3)的对应点为(−6,9).故选B.2.【答案】A【解答】解：在平面直角坐标系中，点A(6,3)，以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来的13得到线段OC，则点A的对应点C的坐标为(6×13,3×13)，即C点坐标为(2,1).故选A.3.【答案】B【解答】解：根据图形可得，两个图形的位似比是1:2，∵ 对应点是(−2a, −2b).故选B．4.【答案】D【解答】解：如图，连接AG，EC，FD，BH交于点P；连接AE，BF，DH，CG并分别延长交于点N,则位似中心为点P或点N.故选D.5.【答案】B【解答】如图所示：两个三角形的位似中心是：点P．故选：B．6.【答案】B【解答】解：点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为点F，故选B.7.【答案】D【解答】解：∵ 四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA:OA′=2:3，∵ 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4:9.∵ 四边形ABCD的面积等于4,∴ 四边形A′B′C′D′的面积为9.故选D.8.【答案】C【解答】，解：∵ 点A(−4,2)，且相似比为12∵ 当△CDO与△ABO在y轴同侧时，点C的坐标为(−2,1)，当△CDO与△ABO在y轴异侧时，点C的坐标为(2,−1).故选C.9.【答案】D【解答】解：根据位似图形的定义，可得A，B，C是位似图形，B与C的位似中心是交点，A的位似中心是圆心；D不是位似图形．故选D．10.【答案】B【解答】解：∵ △ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A和它的对应点A′的坐标分别为(2,5),(−6,−15)，对应点的坐标乘以−3，∵ △A′B′C′与△ABC的相似比为3.故选B.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：由题图可知，直线与直线的交点坐标为，所以位似中心的坐标为．故答案为：.12.【答案】4或2.8【解答】解：①当FG⊥BC时，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，∵ ∠C′=∠C,C′E=CE=2，∵ sin∠C=sin∠C′，∵ ABAC =EGC′E，∵ EG=1.2，∵ FG//AB，∵ CGBC =CFAC，即3.2 4=CF5，∵ CF=4；②当GF⊥AC时，如图，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，∵ ∠1=∠2=45∘，∵ HF=HE，∵ sin∠C=sin∠C′=EHC′E =ABAC，∵ EH=2×35=65，∵ C′H=√C′E2−EH2=85，∵ CF=C′F=C′H+HF=1.6+1.2=2.8.综上所述，当△CFG与△ABC相似时，CF的长为4或2.8.故答案为∵4或2.8.13.【答案】(−1, 2)或(1, −2)【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，点A的坐标为(−2, 4)，∵ 点C的坐标为(−2×12, 4×12)或(2×12, −4×12)，即(−1, 2)或(1, −2).故答案为：(−1, 2)或(1, −2).14.【答案】4【解答】解：∵ 大矩形与小矩形位似，∵ 位似比等于相似比为2:1．∵ 其对应的面积比等于相似比的平方为4:1，∵ 大矩形面积为20cm2．∵ 大矩形的宽为4cm．故大矩形的宽为4cm．15.【答案】(1,3),(2,1),(3,1),(3,2)【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，分别取它们的中点A′，B′，C′，D′，即四边形A′B′C′D′即为所求.∵ A′(1,3)，B′(2,1)，C′(3,1)，D′(3,2).故答案为：(1,3)；(2,1)；(3,1)；(3,2).16.【答案】14【解答】解：∵ 把一个三角形变成和它位似的另一个三角形，若边长缩小了2倍∵ 位似比等于1:2∵ 面积比等于1:4倍．∵ 面积缩小到原来的1417.【答案】5【解答】，解：∵ 五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为12∵ 五边形A′B′C′D′E′的面积与五边形ABCDE的面积比为：1:4，∵ 五边形ABCDE的面积为20cm2，∵ 五边形A′B′C′D′E′的面积为：5．故答案为：5．18.【答案】【解答】解：设AB=BC=2x，①如图1，当点D在AC上时，∵ △ABC≅△A′CC′，∵ A′C=CC′=2x，∵ F为CC′的中点，∵ CF=x，则A′F=√A′C2+CF2=√5x，又∵ △DEC∼△ABC，且DEAB =CECB=12，∵ DE=CE=x，则EF=2x，∵ DF=√DE2+EF2=√5x，∵ A′FDF =√5x√5x=1；②如图2，当点D在AC延长线上时，由①知A′F=√A′C2+CF2=√5x，DF=DE=x，∵ A′FDF =√5xx=√5.故答案为：1或√5.19.6【解答】解：∵ △ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3，∵ AB:DE=2:3，∵ DE=6．故答案为：6．20.【答案】△ABC【解答】解：如图所示：△A′B′C′即为所求，A′(10, 2)，B′(10, 6)，C′(2, 4)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：如图所示：△A1B1C1即为所求，△A1B1C1的面积为：4×6−12×2×6−12×2×4−12×2×4=10．【解答】解：如图所示：△A1B1C1即为所求，△A1B1C1的面积为：4×6−12×2×6−12×2×4−12×2×4=10．22.【答案】解：(1)如图：△OCD即为所求.(2)由图可知：C:(−6,−2)，D:(−4,2).(−2m,−2n)【解答】解：(1)如图：△OCD即为所求.(2)由图可知：C:(−6,−2)，D:(−4,2).(3)根据原点位似的特点可知P′(−2m,−2n).故答案为：(−2m,−2n).23.【答案】解：如图所示：如图：如图所示，与是关于为位似中心的位似图形.【解答】解：如图所示：如图：如图所示，与是关于为位似中心的位似图形.24.【答案】解：是所求的三角形；的坐标是，的坐标是．【解答】解：是所求的三角形；的坐标是，的坐标是．25.【答案】(1)证明：∵ ∠DAP=∠CBP，∠DPA=∠CPB，∴ △ADP∼△BCP；(2)解：△ADP与△BCP不是位似图形，因为它们的对应边不平行；(3)∵ △ADP∼△BCP，∴APDP =BPCP，又∠APB=∠DPC，∴ △APB∼△DPC，∴APPD =ABCD，即AP3=84，解得，AP=6．【解答】(1)证明：∵ ∠DAP=∠CBP，∠DPA=∠CPB，∴ △ADP∼△BCP；(2)解：△ADP与△BCP不是位似图形，因为它们的对应边不平行；(3)∵ △ADP∽△BCP，∴APDP =BPCP，又∠APB=∠DPC，∴ △APB∽△DPC，∴APPD =ABCD，即AP3=84，解得，AP=6．26.【答案】解：(1)如图，△OB1C1为所作，点B1，C1点的坐标分别为(−6, 2)，(−4, −2)；(2)把M点的横纵坐标分别乘以−2即可得到M1的坐标，所以点M的对应点M′的坐标为(−2a, −2b).【解答】解：(1)如图，△OB1C1为所作，点B1，C1点的坐标分别为(−6, 2)，(−4, −2)；(2)把M点的横纵坐标分别乘以−2即可得到M1的坐标，所以点M的对应点M′的坐标为(−2a, −2b).亲爱的读者：纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行！+读书不觉已春深，一寸光阴一寸金；少壮不努力,老大徒伤悲春去燕归来，新桃换旧符。