1. （2009北京卷）（本小题共14分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PD _底面ABCD ,点E 在棱PB 上.（I ）求证：平面 AEC _平面PDB ；（H ）当PD = J2AB 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小.解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz ,设 AB 二 a,PD 二h,则 A a,0,0 ,B a,a,0 ,C 0,a,0 , D 0,0,0 ,P 0,0,h ,(I 「AC …a,a,0 齐=0,0,h,DB=a,a,0 ,••• AC 丄 DR AC 丄 DB ••• AC 丄平面 PDB•••平面AEC _平面PDB .（n ）当PD =・』2AB 且E 为PB 的中点时,设ASBD=O 连接 OE由（I ）知ACL 平面PDB 于 O, • / AEO 为AE 与平面PDB 所的角，•- AOE =45，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45 •2.（2009山东卷）（本小题满分12分）P 0,0,、、2a Ji i 42E —a, —a, — a , 匹2 2丿•cos AEOEA 】EO 2p,解法二：(1)因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点， 所以BF=BC=CF ^ BCF 为正三角形，因为ABCD 为 等腰梯形，所以/ BAC=Z ABC=60 ,取AF 的中点M, 连接。

皿＞则DMLAB,所以DM L CD,以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DDi 为z 轴建立空间直角坐标系， ,则 D( 0,0,0 ) ,A (、.3,-1,0 ) ,F ( ... 3,1,0 ) ,C向量为；=(x, y,则 4 ^F=0所以]n C 。

= 0iEE i i-丄.3 i 0=0,所以 n _ EE i ,所以直线 EEj/ 平面 FCC . 2 22 ) FB =(0, 2,0),设平面BFC 的法向量为n =( x, y, z)则]Ji n FC =0.厂 ,取 n=(2,0, J3),则-、3x i y i 2 Z i —02 7,由图可知二面角 B-FC 1 -C2 .77B-FC i -C 的余弦值为+3. (2009全国卷H)(本小题满分12分)如图，直三棱柱 ABC-ABG 中，AB_AC, D 、E 分别为AA ,、B iC 的中点，DE _平面BCC i(I )证明：AB=AC(II )设二面角A-BD -C 为60°,求B i C 与平面BGD 所成的角 的大小。

(I )分析一：连结BE, ： ABC -AQG 为直三棱柱，一 B^C =90 ,C (0,2,2 ) ,E (邑2 i2。

) ,Ei ( • 3小)，E i,_1,1),CF =(.3-1,0),CC i =(0,0,2)DE? AMFF C 、3,I ,2) 设平面CGF(020③-八。

取 n=(i,§0),z = 0yi =0 n 2 i 一、3 0 0 .3 =2,|二汀(3)2 =2,|；|「22 0 c ，3)2 -7所以cos n, n|n||n |为锐角，所以二面角D iA iB i:E为B i C的中点，.BE二EC。

又DE _平面BCC“,.BD = DC （射影相等的两条斜线段相等）而DA _平面ABC ,.AB = AC （相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF // DE , AF I BC ,得AB = AC 也可。

分析三：利用空间向量的方法。

具体解法略。

（II ）分析一：求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可。

作AG _ BD于G，连GC，则GC _ BD , . AGC为二面角A-BD -C的平面角，一AGC = 60 .不妨设AC = 2 J3 ,则A G = 2 , G C 4.在RT L ABD 中，由AD AB B D A G得AD 二.6 .设点吕到面BDC的距离为h , B1C与平面BCD 所成的角为〉。

禾U用11 —3 S B1BC DE = 3 S BCD h ,可求得h = 2、、3，又可_ h 1求得B1C = 4 /3 sin 30 .1B1C 2即BQ与平面BCD所成的角为30 .分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，贝U B1C与平面BCD所成的角即为BC与法向量n的夹角的余角。

具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。

命题人在这里一定会兼顾双方的利益4. （2009全国卷I）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD _底面ABCD , AD —三,DC 二SD =2，点M 在侧棱SC 上，Z ABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点；|：〔打求二面角S-AM -B的大小。

解法二、分别以DA DC DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则A( 2,0,0),B( 2,2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。

z(I)设 M(O,a,b)(a 0,b 0)，则BX =(0,-2,0),丽=(-、2,a -2,b),SM =(0,a,b-2),SC =(0,2,-2)，由题得cos BA,BM =—2 ,SM // SC”-2(a-2) =1«2，J(a —2)2+b2+2 2 解之个方程组得a = 1,b = 1 即M (0,1,1)-2a =2(b —2)所以M是侧棱SC的中点。

————2 2 — , 2 -2法2:设SM 二MC，则M(0, , ),MB=( 2, , )1 + 扎1 +扎 1 + & 1 + k又AB =(0,2,0), MB, AB ^60°故MB *AB =|MB | |AB|cos60°，即所以M是侧棱SC的中点。

(□)由(I)得M(0,1,1),MA =(、2,-1,-1)，又AS = (- 2,0,2), = (0,2,0),---------- P ---------- 1-设n1 = (X1, y1 ,Z1), n2 =(X2,y2,Z2)分别是平面SAM、MAB 的法向量，则w'2x i — y i — z i =冃 yf2X 2 — y2 — z? = 0 且J-2x , 2z^ 0 2y 2 二 0分别令 x , = x 2 =、- 2 得 z , = 1, y , = 1, y 2 = 0, z 2 =2，即n , =(2,1,1),山=( 2,0,2),2 0 2 6 二 cos n , ,n 2 2 &6 3.6二面角 S -AM -B 的大小二-arccos —。

35. (2009天津卷)(本小题满分12分)如图，在五面体 ABCDEF 中，FA —平面 ABCD, AD//BC//FE , AB_ AD, M 为 EC 的中点, 1 AF=AB=BC=FE= AD2(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小; (II)证明平面AMd 平面CDE(III )求二面角A-CD-E 的余弦值。

图所示，建立空间直角坐标系， 点A 为坐标原点。

设 AB =1,依题方法二：如意得B 1,0,0 , C 1,1,0，所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(II )证明：由AM 二-,1,丄，CE 二 -1,0,1 , AD 二 0,2,0，可得 CE «AM = 0,12 2丿CE *AD =0.因此，CE _AM , CE _ AD.又AM AD =A ，故CE _ 平面 AMD .而CE 平面CDE ，所以平面 AMD —平面CDE.(III )解：设平面CDE 的法向量为u=(x , y , z),则f •竺-0U • DE = 0.D 0,2,0 ,E 0,1,1 ,F 0,0,1 , M12,1‘2 . (2 2丿(I )解:BF -「1,0,1 , DE 二 0,-1,,6 • MA = 0 丨 “2 • MA = 0 且2__m • AS = 0 n , * AB = 0于是 CO SB F ,DE ?BF *DE BF DE0 0 1] 、2 • 2 一 2n AB 二-2x =0,n AC = -2x 2y-2z =0,令z =1,解得x = 0,y =1 金=（0,1,1） .................. 1分II设法向量n 与 BM 的夹角为，二面角B j - AC -C 1的大小为二，显然二为锐角于是厂x + "0,令“I ，可得u=（i ,i ）. —y +z =0. 又由题设，平面ACD 的一个法向量为v= （0,0,1）. u *v 0 0 1 3u||v| 43 *1 3 . 所以，cosu ，v 6. （2009年上海卷）（本题满分14分） 如图，在直三棱柱 ABC -ABQ ,中，AA , =BC =AB =2, AB _ BC ,求二面角耳- AC -G 的大小。

【解】如图，建立空间直角坐标系 则 A （ 2，0，0）、 C （ 0，2，0） A1 （ 2，0，2）， B1（0，0，2） 、C1（ 0，2，2）2分 设AC 的中点为 M T BML AC, BM 丄CC1; ••• BM L 平面 A1C1C ，即=(1,1,0)是平面A1C1C 的一个法向量。

设平面A 1B 1C 1的一个法向量是 畀（x, y,z ） （x ，y ，z ），AC = (-2，2, -2 )，A B 1 = (-2， 0， 0)二面角B 2 一 AC -G 的大小为-7 (2010湖南)18.(本小题满分12分)如图所示，在长方体 ABCD — AB J C J D J 中，AB=AD=1 AA=2, CG 的中点(I)求异面直线 AM 和CD 所成的角的正切值； (H)证明：平面 ABML 平面ABM18.解I)如图，因为 C 1 D 1 // B 1 A 1，所以.MA 1B 1异面 直线RM 和C 1 D 1所成的角，因为 A 1 B^ _平面BCC 1B 1 , 所 以 .A 1B 1M =90° , 而 A , B 1 =1B 1M = B 1C 2 MC 2 = 2 ,故 tan MA 1B^ 邑叫=2.A 1B [即异面直线A M 和G D 1所成的角的正切值为 .2(n)由 A B<| _ 平面 BCC 1B 1 , BM —平面 BCC 1B 1，得A 1B 1 _ BM ①由(I )知，B 1M = 2 , BM2CM 2 =捕2 ,二 2，所以B 1M 2 BM 2 二 B 1B 2 ,从而BM_B 1M ② 又A 1B 1 B 1M = B 1；再由①②得Bd 平面A 1B 1M,而BM 平面 ABM因此平面ABM 平面AB 1M.8. (2010辽宁理数)(19)(本小题满分12分)已知三棱锥 P — ABC 中，PA! ABC AB 丄AC, PA=AC=AB N 为AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.(I)证明：CML SN12, 解得1••14 分M 是棱(H)求SN与平面CMN所成角的大小.B则P（O,。