第六章 非线性微分方程和稳定性
在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.
§6.1 引言
考虑微分方程
(,)d f t dt
=x
x (6.1)
其中函数(,)f t x 对n D R ∈⊆x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设
方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)T
n x x =x 的范数取1
221
()n
i
i x ==∑x .
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足
01δ-<x x
就有
0001(,,)(,,)t t t t ϕε-<x x x
对一切t ≥t 0成立，则称(6.1)的解01(,,)t t x ϕ=x 是稳定的.否则是不稳定的.
假设01(,,)t t ϕ=x x 是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要0x 满足
011δ-<x x
就有
0001lim((,,)(,,))0t t t t t ϕ→∞
-=x x x
则称(6.1)的解01(,,)t t ϕ=x x 是渐近稳定的.
为了简化讨论，通常把解01(,,)t t ϕ=x x 的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)t t t =x x x ,01()(,,)t t t ϕϕ=x 作如下变量代换.
令
()()y t t ϕ=-x (6.2) 则
d dt y =()()(,())(,())d t d t f t t f t t dt dt
ϕϕ-=-x x (,())(,())
(,)
d
f t t f t t F t ϕϕ=+-=y y
于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成
(,)d F t dt
=y
y (6.3)
其中(,)(,())(,())F t f t t f t t ϕϕ=+-y y .这样关于(6.1)的解()t ϕ=x 的稳定性问题就化为(6.3)的零解y =O 的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x =O 的稳定性，即假设(,)f t O O ≡，并有如下定义:
定义6.1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)t δδε=，使当0δ<x 时有 00(,,)t t ε<x x (6.4)
对所有的0t t ≥成立，则称(6.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. 定义6.2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当01δ<x 时有
00lim (,,)0t t t →∞
=x x
则称(6.1)的零解是渐近稳定的.
例1 考察系统
⎪⎩⎪⎨⎧-==x dt
dy
y
dt dx
的零解的稳定性.
解 对于一切0t ≥，方程组满足初始条件
0(0)x x =,2200
0(0)(0)y y x y =+≠的解为 0000()cos sin ()sin cos x t x t y t
y t x t y t
=+⎧⎨
=-+⎩ 对任一0ε>，取δε=，则当12220
()x y δ+<时，有
112
2
2
22
2
00001
22200
[()()][(cos sin )(sin cos )]
()x t y t x t y t x t y t x y δε
+=++-+=+<=
故该系统的零解是稳定的.
然而，由于
1122
222
20
lim[()()]()0t x t y t x y →∞
+=+≠
所以该系统的零解不是渐近稳定的.
例2 考察系统
dx
x dt
dy y dt
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 的零解的稳定性.
解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：
00()()t
t
x t x e y t y e
--⎧=⎨=-⎩ 其中22
000x y +≠
对任一0ε>，取δε=，则当12220
()x y δ+<时，有
1122
22222
2
122200
[()()]()
()(0)
t t x t y t x e
y e
x y t δε--+=+≤+<=≥
故该系的零解是稳定的. 又因为
1122
22222
2
lim[()()]lim()0t t t t x t y t x e
y e --→∞
→∞
+=+=
可见该系统的零解是渐近稳定的.
例3 考察系统
dx
x dt
dy y dt
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 的零解的稳定性.
解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为
00()()t
t
x t x e y t y e ⎧=⎨=⎩
(0)t ≥ 其中22
00x y +≠. 11
122
2222222
220
[()()]()()t t t x t y t x e y e x y e +=+=+
由于函数e t 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意0ε>，不管12220
()
x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证1
2
2
2
[()()]x t y t +小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.
例4 考虑常系数线性微分方程组
dx
Ax dt
= (6.5)
其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明，若A 的所有特征根都具严格负实部，则(6.3)的零解是渐近稳定的.
证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t )是(6.5)的标准基本解矩
阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成
0()()x t t x =Φ (6.6)
由A 的所有特征根都具负实部知
lim ()0t t →∞
Φ= (
6.7)
于是知存在t 1>0，使t >t 1时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当00x δ<时，由(6.6)有
00()()x t t x x ε≤Φ≤<, 1t t >
(6.8)
当t ∈[0,t 1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述0ε>，存在δ1 >0，当01x δ<时
()x t O ε-<, 1[0,]t t ∈
取01min{,}δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有
()x t ε<, [0,]t ∈+∞
即0x =是稳定的.
由(6.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →∞
Φ=，故0x =是渐近稳定的.。