因式分解的常用方法第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；　(2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2；　(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；　(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：　(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ∆222a b c ab bc ca ++=++ABC ∆A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！)()(n m b n m a +++=))((b a n m ++例2、分解因式：bxby ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-)510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x ---==)2)(5(b a y x --)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、2、bc ac ab a -+-21+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ayax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(cb ab a -+- =22)(cb a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、 4、y y x x 3922---yzz y x 2222---综合练习：（1）（2）3223y xy y x x --+ba ax bx bx ax -+-+-22（3）（4）181696222-+-++a a y xy x ab b ab a 4912622-++-（5）（6）92234-+-a a a yb x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。

))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.a a 223x x a ++a 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求 >0而且是一个完全平方数。

24b ac ∆=-于是为完全平方数，98a ∆=-1a =例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：=1 3652++x x 32)32(2⨯+++x x = 1×2+1×3=5)3)(2(++x x 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672+-x x 解：原式=1 -1)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x =1 -6 )6)(1(--x x （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1)(2) (3)24142++x x 36152+-a a 542-+x x 练习6、分解因式(1)(2) (3)22-+x x 1522--y y 24102--x x （二）二次项系数不为1的二次三项式——cbx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1c （2）21c c c =2a 2c （3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：=c bx ax ++2))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=101132+-x x )53)(2(--x x 练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）6752-+x x 2732+-x x 317102+-x x 101162++-y y （三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288bab a --分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

b a 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b解：=221288b ab a --)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)(2)(3)2223y xy x +-2286n mn m +-226bab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、22672y xy x +-2322+-xy y x 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 xy 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)32)(2(y x y x --)2)(1(--xy xy 练习9、分解因式：（1）（2）224715y xy x -+8622+-ax x a 综合练习10、（1）（2）（3）17836--x x 22151112y xy x --10)(3)(2-+-+y x y x （4） （5） （6）344)(2+--+b a b a 222265x y x y x --2634422++-+-n m n mn m （7）（8）3424422---++y x y xy x 2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）（10）10364422-++--y y x xy x 2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abcx c b a abcx +++)(2222五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(xx x x x +++++解：（1）设2005=，则原式=a ax a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x （2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

e abcd +原式=222)65)(67(xx x x x +++++设，则A x x =++652x A x x 2672+=++∴原式==2)2(x A x A ++222x Ax A ++==2)(x A +22)66(++x x 练习13、分解因式（1） （2）)(4)(22222y x xy y xy x +-++90)384)(23(22+++++x x x x （3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a 例14、分解因式（1）262234+---x x x x 观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。

这种多项式x 属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式==)1162(222x x x x x +---[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设，则t x x =+121222-=+t x x ∴原式==[]6)2222---t t x （()10222--t t x ==()()2522+-t t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x ==⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x ()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x （2）144234+++-x x x x 解：原式==22241(41)x x x x x -+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设，则y x x =-121222+=+y x x ∴原式==22(43)x y y -+2(1)(3)x y y -- ==)31)(11(2----xx x x x ()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x （2）)(2122234x x x x x +++++六、添项、拆项、配方法。