河北科技大学2003级
高等数学（下）期末考试试题1
一、填空题（共15分） 1. (5分) 微分方程023=+'+''y y y 的通解为 .
2. (5分) 设D 是平面区域,1||,2||≤≤y x 则=+⎰⎰D
y x x σd )( .
3. (5分) 设),(xy e f z =其中f 可微,则=z d .
二、选择题（共15分）
1. (5分) 若∑∞
=1n n n x a 在2-=x 处收敛，则此级数在1=x 处( ).
(A)条件收敛; (B)绝对收敛;
(C) 发散; (D)收敛性不确定.
2. (5分) 0lim =∞→n n u 是级数∑∞
=1n n u 收敛的( ). (A)充分条件; (B)必要条件;
(C)充分必要条件; (D)既不充分也不必要的条件.
3. (5分) 已知y x e x ay x x y d )2(d )sin (2
2++-在xoy 坐标面上是某个二元
函数的全微分,则a = ( ).
(A) 0; (B) 2; (C) 1- ; (D) 2-;
三、解答题（共56分）
1.（7分）已知曲线32,,t z t y t x ===上P 点处的切线平行于
平面,42=++z y x 求P 点的坐标.
2.（7分）设, ) , (x y xy f z = f 具有二阶连续的偏导数,求.2y x z ∂∂∂
3.（7分）计算曲线积分⎰-+-=L
x x y y e x y y e I d )1cos (d )sin (其中L 为 由点)0 , (a A 至点)0 , 0(O 的上半圆周2x ax y -=)0(>a .
4.（7分）将x x f arctan )(=展开成关于x 的幂级数.
5.（7分）判别级数∑∞=-1
ln )1(n n
n n 的敛散性. 6.（7分）求幂级数∑∞=⋅-13
)3(n n n
n x 的收敛域. 7.（7分）计算曲面积分 ⎰⎰∑
+++++=y x z x z y z y x I d d )3(d d )2(d d )1(333
其中∑为球面2222a z y x =++)0(>a 的内侧.
8.（7分）试写出微分方程x x y y 2cos 52+='+''的特解形式.
四、应用题（8分）
在xoy 坐标面上求一条过点),(a a )0(>a 的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y 轴的直线所围成图形的面积为.2a
五、证明题（6分）
证明：曲面)2(3z y g x z -+=的所有切平面恒与一定直线平行，
其中函数g 可导.
评分标准（A 卷）
一、(每小题4分)
x x e C e C y 221.1--+=; 3
32.2; )()(.3xdy ydx e e f xy xy +'. 二、(每小题4分)1.
(B); 2.(B); 3.(D).
二、解答题 1．(7分) 解 曲线在任一点的切向量为{}21,2,3,T t t =
┄┄┄┄2分 已知平面的法向量为{}1,2,1,n =┄┄┄┄3分 令0,T n ⋅=得1
1,3
t t =-=-,┄┄┄┄5分 于是所求点为12111(1,1,1),(,,).3927
P p ----┄┄┄┄7分 2．(7分) 解 23123,z x f x yf xyf x
∂''=+-∂ ┄┄┄┄3分 22114213224f y f y x f x f x y
x z ''-''+'+'=∂∂∂┄┄┄┄7分 3．(7分) 解 添加直线段,OA 与L 构成闭曲线,C 应用格林公式┄┄1分
(sin )(cos 1)x x C e y y dx e dy -+-⎰221().228D
a dxdy a π===π⎰⎰┄┄┄4分 而(sin )(cos 1)0,x x OA
e y y dx e y dy -+-=⎰┄┄┄┄6分 I ∴=2108a π-21.8
a =π┄┄┄┄7分 4．(7分) 解 220
1()(1)(1),1n n n f x x x x ∞='==-<∑+┄┄┄┄3分
2101()(1)21n
n n f x x n ∞+=∴=-∑+┄┄┄┄6分
[1,1].x ∈-┄┄┄┄7分
5．(7分) 解 ln (1)lim limln ,1
n
n n n n n n →∞→∞-==+∞ (或
当3n ≥时,(1)ln ln 1)n n n n n n -=> ┄┄┄┄2分 而11n n ∞=∑发散,
1ln (1)n
n n n ∞=∴-∑发散. ┄┄┄┄4分
令ln ,n n u n
=则当3n ≥时1,n n u u +<且lim 0,n n u →∞=┄┄┄┄6分 由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛. ┄┄┄┄7分
6．(7分) 解 1131lim lim ,(1)33n n n n n n
a n a n ++→∞→∞⋅==+⋅3,R ∴= ┄┄┄┄3分 又当33,x -=-即0x =时,级数1(1)n
n n
∞=-∑收敛; ┄┄┄┄5分
当33,x -=即6x =时,级数11n n ∞
=∑发散 ┄┄┄┄6分
故原级数的收敛域为[0,6). ┄┄┄┄7分
7. (7分) 解 利用高斯公式及球坐标有
222(333)I x y z dv Ω
=-++⎰⎰⎰ ┄┄┄┄3分
2220003sin a
d d r r dr =-⋅⎰⎰⎰ππϕϕθ┄┄┄┄5分
5
12.5
a =-π┄┄┄┄7分 8. (7分) 解 特征方程为2250,r
r +=┄┄┄┄1分 特征根为1250,.2
r r ==- ┄┄┄┄2分 11()cos2,22
f x x x =++ ┄┄┄┄3分 是特征根,1252
y y x '''∴+=+的一个特解形式为 *1(),y x ax b =+┄┄┄┄4分
又02i +不是特征根, 125cos22
y y x '''∴+=的一个特解形式为*2cos2sin2,y c x d x =+ ┄┄┄┄5分
故 原方程的一个特解形式为
*y =**12()y y x ax b +=+cos2sin2.c x d x ++┄┄┄┄6分
四、 解 由题意画出图形.设所求曲线方程为()y f x =
，┄┄┄┄1分 点(,)x y 处的切线方程为(),Y y y X
x '-=- ┄┄┄┄2分 令0,Y =得切线在x 轴的截距,y X x y =-'
┄┄┄┄3分 梯形的面积为211()(2),22y S x X y x y a y =+=-='
即222(),xy a y y '-=┄┄┄┄4分
化为一阶线性方程2
222,dx a x dy y y
-=- ┄┄┄┄5分 代入公式或用常数变易法求得通解：2
22.3a x Cy y
=+┄┄┄┄7分 将初始条件x a y a ==代入通解得1,3C a
= 故所求曲线方程为22.33a y x y a
=+ ┄┄┄┄8分 五、证明 曲面上任一点切平面的法向量为{}1,,23,n g g ''=--┄┄┄2分 取{}3,2,1,a =则0,n a ⋅=即,n a ⊥┄┄┄┄5分 故原结论成立. ┄┄┄┄6分。