湖南省 2019 年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分4页，。
共时量120分钟，满分120分。
一、选择题（本大题10共小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，且，则
A. B. C. D.
解：。
选C。
2．“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解：“”时必有“”，反之不然。
选A。
3．过点且与直线平行的直线的方程是
A. B. C. D.
解：，故，即。
选D。
4．函数的值域为
A. B. C. D.
解：∵单调，又，∴，即，选B。
5．不等式的解集是
A. B. C. D.或
解：方程两根为，开口向上，小于取中间，选C。
6．已知，且为第二象限角，则
A. B. C. D.
解：为第二象限角，，。
选D。
7．已知为圆上两点，为坐标原点，若，则
A. B. C. D.
解：如图，，，勾股定理，，。
选B。
8．函数（为常数）的部分图象如下图所示，则
A. B. C. D.
解：最大值为，最小值为，故，选A。
9．下列命题中，正确的是解：不多讲，选D。
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.垂直于同一个平面的两个平面平行
C.若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直
10．已知直线：（为常数）经过点，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
解：∵过点，∴，即.
又，即，∴，。
选A。
二、填空题（本大题5共个小题，每小题4分，共20
分）
11．在一次射击比赛中，某运动员射次击的成绩如下表所示：
单次成绩（环）78910
次数4664则该运动员成绩的平均数是（环）。
解：
12．已知向量，，，且，则。
解：∵，∴，∴.
13．已知的展开式中的系数为10，则。
解：∵。
令得. ∴。
∴，.
14．将三个数分别加上相同的常，数使这三个数依次成等比数列，由。
解：∵，，∴.
15．已知函数为奇函数，为偶函数，且，则。
解：∵，又由奇偶性得：。
∴.
三、解答题（本大题7共个小题，其中第21、22小题为选做题。
满分60分。
解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
16、（本小题满分10分）
已知数列为等差数列，，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求。
解：（Ⅰ）设公差为，则，∴.
∴数列的通项公式为.
（Ⅱ）∵，
∴.
17、（本小题满分10分）
件产品中有件不合格品，每次取一件，有放回地取三次表。
示用取到不合格品的次数。
求：（Ⅰ）随机变量的分布列；
（Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率。
解：（Ⅰ）有放回，每次取得不合格品的概率为，为伯努利概型。
取三次，
∴随机变量服从二项分布，即。
的所有可能取值为。
∴，，
，。
∴随机变量的分布列为：
（Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率为。
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（Ⅰ）画出的图象；
（Ⅱ）若，求的取值范围。
解：（Ⅰ）分别画出抛物线和一次函数的图象，
然后保留对应取值的部分图象即得。
如右图实线部分。
（Ⅱ）∵，∴或，
即
或。
或
∴或，即.
∴的取值范围为.
19、（本小题满分10分）
如图，在三棱柱中，底面，，，为的中点。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求三棱柱的体积。
（Ⅰ）证：∵，为的中点，∴。
又底面，底面，∴。
∵ 和是内两相交直线；
平面
∴平面。
（Ⅱ）解：连 .∵平面，
∴，且是在平面的射影，
∴.
在中，.
在中，，，∴.
在中，，，∴.
∴三棱柱的体积.
20、（本小题满分10分）
已知椭圆：.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点，直线与椭圆交于两点。
求的面积。
解：（Ⅰ）∵，，∴，∴，，
∴椭圆的离心率.
（Ⅱ）由消去并整理得：.
设两点的坐标分别为，则由韦达定理可得：
，，∴.
又点到直线即的距离。
∴的面积。
选做题：请考生在21第、22题中选择一题作答。
如果两题都做，则按所做21的题第计分。
作答时，请写清题号。
21、（本小题满分10分）
如图，在直角三角形中，，，，为内一点，，且。
（Ⅰ）求的长；
解：（Ⅰ）∵中，，，，
∴，。
∵中，，，，
∴，。
∴中，，
由余弦定理有：，
即，。
（Ⅱ）中，由正弦定理有：。
22、（本小题满分10分）
某企业拟生产产品和产品。
生产一件产品需要新型材料千克，用个工时；生产一件产品需要新型材料千
克，用个工时。
生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元。
现有新型材料200千克，
问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最值。
解：设生产件产品和件产品时，企业获得的总利润元为，则：
约束条件为：；
目标函数为：，求。
作出可行域，如图。
解得，
此时（元）。
答：生产件产品和件产品时，企业可获得最大总利润，
总利润的最大值为元。