并且
y1 y2
cotx 不恒为常数
所以 y1cosx 与 y2sinx 是方程的
线性无关解 从而方程的通解为 yC1cosxC2sinx
提示 y1 sinx y12cosx y2 cosx y12sinx
3 验证 y1 ex2 及 y2 xex2 都是方程 y4xy(4x22)y0 的解
并写出该方程的通解 解 因为
所以 y1ex y2ex y3cos x y4sin x 是方程 y(4)y0 的线性无关解 从而 YC1exC2exC3cos xC4sin x 是方程的通解
又因为
y*(4)y*0(x2)x2
所以 y*x2 是方程 y(4)yx2 的特解 因此 yC1exC2exC3cos xC4sin xx2 是方程 y(4)yx2 的通解
x2y13xy15y1x220x33x5x45x50
x2
y23xy2
5y2
x2
2 x3
3x(
1 x2
)
5
1 x
0
且
y1 y2
x6 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 x2y3xy5y0 的
线性无关解
从而 Y
C1x5
C2 x
是齐次方程的通解
又因为
x2 y*3xy*5y*
x2( 2 ln x1)3x( 2x ln x x)5( x2 ln x) x2 ln x
y19y19cos3x9cos3x0
y29y29sin3x9sin3x0
且
y2 y1
tan3x 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 y9y0 的线
性无关解 从而 YC1exC2e2x 是齐次方程的通解 又因为
y*9y* 1 (9sin x4xcosx)9 1 (4xcosxsin x) xcosx
且
y2 ln x 不恒为常数 y1
所以 y1 与 y2 是方程 x2y3xy4y0 的线性
无关解 从而 yC1x2C2x2ln x 是方程的通解
(4)
y
C1x5
C2 x
x2 9
ln
x
(C1、C2
是任意常数)是方程
x2y3xy5yx2ln x
的通解
解 令 y1x5
y2
1 x
y* x2 ln x 因为 9
解 令 y1ex y2ex y3cos x y4sin x y*x2 因为
y1(4)y1exex0
y2(4)y2exex0
y3(4)y3cos xcos x0
并且
y4(4)y4sin xsin x0
ex ex cosx sin x
ex ex
ex ex
sin x cosx
cosx sin x
4
0
ex ex sin x cosx
y* 1 e5x 因为 12
y13y12y1ex3ex2ex0
y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0
且
y2 y1
ex 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 y3y2y0 的线
性无关解 从而 YC1exC2e2x 是齐次方程的通解 又因为
y*3y*2y* 25e5x 3 5 e5x 2 1 e5x e5x
(7)sin2x cos xsin x
解 因为 sin2x 2 所以 sin2x cos xsin x 是线性相关的 cosxsin x
(8)excos2x exsin2x
解
因为
ex ex
s c
in 2x os2x
tan
2x
不恒为常数
所以 excos2x exsin2x 是
线性无关的
(9)ln x xln x
12
12
12
所以 y*是方程 y3y2ye5x 的特解
因此
y
C1ex
C2e2x
1 12
e5x
是方程
y3y2ye5x
的通解
(2)
y
C1c
os3x
C2
sin
3x
1 32
(4x
cosx
sin
x)
(C1、C2
是任意常
数)是方程 y9yxcos x 的通解
解 令 y1cos3x y2sin3x
y* 1 (4xcosxsin x) 因为 32
cosx sin x
40
ex ex sin x cosx
所以方程组只有零解 即 y1ex y2ex y3cos x y4sin x 线性无关
93
99
9
所以 y*是方程 x2y3xy5yx2ln x 的特解
因此
y
C1x5
C2 x
x2 9
ln
x
是方程
x2y3xy5yx2ln
x
的通解
(5)
y
1 x
(C1ex
C2ex
)
ex 2
(C1、C2 是任意常数)是方程
xy2yxyex
的通解
解
令
y1
1 x
ex
y2
1 x
ex
y* ex 因为 2
xy1 2 y1
xy1
x(
2ex x3
2ex x2
ex x
)
2(
ex x2ຫໍສະໝຸດ ex x)x ex x
0
xy2 2 y2
xy2
x(
2ex x3
2ex x2
ex x
)2(
ex x2
ex x
)
x
ex x
0
且
y1 e2x 不恒为常数 y2
所以 y1 与 y2 是齐次方程 xy2yxy0 的
线性无关解
从而
Y
1 x
(C1ex
C2ex
32
32
所以 y*是方程 y9yxcos x 的特解
因此
y
C1
c
os3x
C2
sin
3x
1 32
(4xcosxsin
x)
是方程
y9yxcos
x
的通解
(3)yC1x2C2x2ln x(C1、C2 是任意常数)是方程 x2y3xy4y0 的通解
解 令 y1x2 y2x2ln x 因为 x2y13xy14y1x223x2x4x20 x2y23xy24y2x2(2ln x3)3x(2xln xx)4x2ln x0
解
因为 ex ex
e2x 不恒为常数
所以 ex ex 是线性无关的
(5)cos2x sin2x
解 因为 sin2x tan2x 不恒为常数 所以 cos2x sin2x 是线性无关的 cos2x
(6) ex2 2xex2
解
因为
2xex2 ex2
2x
不恒为常数
所以 ex2
2xex2 是线性无关的
习题 127
1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1)x x2
解 因为 x2 x 不恒为常数 所以 x x2 是线性无关的 x
(2)x 2x
解 因为 2x 2 所以 x 2x 是线性相关的 x
(3)e2x 3e2x
解
因为 3e2x ex
3
所以 e2x 3e2x 是线性相关的
(4)ex ex
)
是齐次方程的通解
又因为
xy*2y*xy* xex 2ex xex ex 222
所以 y*是方程 xy2yxyex 的特解
因此
y
1 x
(C1ex
C2ex
)
ex 2
是方程
xy2yxyex 的通解
(6)yC1exC2exC3cos xC4sin xx2(C1、C2、C3、C4 是任意常
数)是方程 y(4)yx2 的通解
解 因为 xln x x 不恒为常数 所以 ln x xln x 是线性无关的 ln x
(10)eax ebx(ab)
解
因为
ebx eax
e(ba)x
不恒为常数
所以 eax ebx 是线性无关的
2 验证 y1cosx 及 y2sinx 都是方程 y2y0 的解 并写 出该方程的通解
解 因为 y12y12cosx2cosx0 y22y22sinx2sinx0
提示 令 k1exk2exk3cos xk4sin x0
则 k1exk2exk3sin xk4cos x0 k1exk2exk3cos xk4sin x0 k1exk2exk3sinxk4cos x0
上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为
ex ex cosx sin x
ex ex
ex ex
sin x cosx
从而方程的通解为 y C1ex2 C22xex2
提示 y1 2xex2 y1 2ex2 4x2ex2
y2 ex2 2x2ex2 y2 6xex2 4x3ex2
4 验证
(1)
y
C1ex
C2e2x
1 12
e5x
(C1、C2
是任意常数)是方程
y3y2ye5x
的通解
解 令 y1ex y2e2x
y14xy1 (4x2 2)y1 2ex2 4x2ex2 4x2xex2 (4x2 2)ex2 0
y24xy2 (4x2 2)y2 6xex2 4x3ex2 4x(ex2 2x2ex2)(4x2 2)xex2 0
并且
y2 y1
x 不恒为常数
所以 y1 ex2 与 y2 2xex2 是方程的线性无关解