1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
求样本容量n ，样本均值和样本方差。

解：样本容量为n=100
样本均值，样本方差，样本修正方差分别为
()()2222
22222033061522031
3.85,1001 3.85 1.9275,100
100100 1.9275 1.9469693061999
5.
9n n x s s s ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
==-===⨯=++++++
2、设总体服从泊松分布P （λ），1,,n X X 是一样本：
（1）写出1,,n X X 的概率分布；
解：
,2,1,0,!
!
)(,2,1,0,,2,1,0,!
)(1
1
1
n 11
==
=======
=-=∑-==-∏∏
∏=i n n
i i
x x
i i x i i n
i i i i i x
i i x e
x e
x x X p n i x X P X X x e x x x P i
n
i i
i
λ
λ
λλ
λ
λλ）（的概率分布为
所以因为：
（2）计算2
,n EX DX ES 和；
解：λλλλn
n DX n n ES n n DX X D EX X E DX EX n 11,,,2
-=-=======所以因为
（3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本 均值, 样本方差和次序统计量的观察值。

解：
4
9106.3410114
10
40
1222
210122121===-=-====∑∑∑===s s s n i i i n i n i n i x x x n x n x
3、设17,,X X 为总体X 服从()0,0.25N 的一个样本，求7214i i P X =⎛⎫
> ⎪⎝⎭
∑.
（()20.975716.0128χ=）
解： 因每个i X 与总体X 有相同分布，故
20.5
i i X X -=服从()0,1N ，则 2
7
7
2
11
040.5i i i i X X ==-⎛⎫= ⎪
⎝⎭∑∑服从自由度n=7的2χ-分布。

因为77722211144161416i i i i i i P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，查表可知()2
0.975716.0128χ=,
故72140.025.i i P X =⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
∑
4、设总体X 具有分布律
其中θ(0<θ<1)为未知参数。

已知取得了样本值x 1=1，x 2=2，x 3=1，试求θ的最大似然估计值。

解：似然函数}1{}2{}1{}{)(3213
1
======
∏=X P X P X P x X
P θL i i i
)
1(2)1(25
22θθθθθθ-=⋅-⋅=
ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导
011
65)(ln =--=θ
θd θL d 得到唯一解为6
5
ˆ=θ
5、求均匀分布],[21θθU 中参数21,θθ的极大似然估计． 解：由X 服从[a ，b]上的均匀分布，易知
()()2
2
22
,2122b a a b a b EX EX DX EX -++⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭
求a ，b 的矩法估计量只需解方程
(
)
2
2ˆˆˆˆ,2
12
n b a a
b X S -+==
,
得ˆˆ,n n
a X
b X ==
6、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A 的9个学生，得分数的平均值为31.81=A x ，方差为76.602
=A s ；随机地抽取学校B 的15个学生，得分数的平均值为61.78=B x ，方差为24.482=B s 。

设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。

求均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间。

（()0.975227.266t =） 解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间为
()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++±-)22(151917.2)2(11975.021975.021t s n n t n n s x x w w B A
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=0739.2151
91266.77.2)22(151917.2975.0t s w ()()05.9,
65.335.67.2-=±=
7、设A ，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量
值的修正方差分别为220.5419,0.6065A B s s ==，设2A σ和2
B σ分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比22
/A B σσ的0.95的置信区间。

解：n=m=10, 1-α=0.95，α=0.05,
()()()()
1/20.975/21/21
1,19,9 4.03,1,10.24181,1F n m F F n m F m n ααα----==--=
=--,
从而
()()22221/2/211
0.541910.54191,,1,11,10.60654.030.60650.241[0.2223.601]8A A B B S S S F n m S F n m αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
----⎣⎦
⎣⎦，故方差比22
/A B σσ的0.95的置信区间为[0.222，3.601]。

8、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差66.1=σ，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下
146，141，135，142，140，143，138，137，142，136
设样本来自正态总体),(2σμN ，2
,σμ均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取
05.0=α）：22122066.1:,66.1:≠=σσH H
解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。

检验统计量为
2
2
2
66.1)1(S n -=χ。

代入本题中的具体数据得到2
2
(101)12
39.1931.66
-⨯χ=
=。

检验的临界值为022.19)9(2
975.0=χ。

因为2
39.19319.022χ=>，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设0H ，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。

9、某地调查了3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：
试在α=0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。

（()2
0.9537.815χ=）
解：这是列联表的独立性检验问题。

在本题中r=2，c=4，在α=0.05下， ()()()()220.950.95
1137.815r c χχ--==, 因而拒绝域为：{}27.815W χ=≥. 为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算../i j n n n ⋅：
()()()2
2
2
2
4036.82023.2625644.47.23636.8
23.2
644.4
χ---=
+
+
+
=,
由于2
χ=7.326<7.815，样本落入接受域，从而在α=0.05水平上可认为失业人员的性别与文
化程度无关。

10、设总体X具有贝努里分布b（1，p），p∈Θ=（0，1），
1,,
n
X X是一样本，试求p 的无偏估计的方差下界。

解：关于假设检验, 当时拒绝假设，否则认为试验结果与假设无显著差异。

而的置信度为1-α的置信区间是
特别地取，即考虑假设，由前可得T统计量是
，
其中是方阵对角线上第 i 个元素。

类似地，的置信区间是。