函授本科数学专业《泛函分析》考试试题A 卷（120分钟）一、单项选择题（3分×5=15分）1、下列各式正确的是（ C ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ B ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测 （B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）(A) )(x f 在],[b a 上有界(B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=( φ )2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =（[0，1]）,oE =（φ）,E = （[0，1]）.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有（***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂），则称E 是L 可测的。
4、)(x f 可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使（11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。
）,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立, 则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。
错误……………………………………………………2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密………………………..5分2、若0=mE ，则E 一定是可数集.错误…………………………………………………………2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集……………………….5分3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。
错误…………………………………………………………2分例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;(),,;x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0Ef x >⎰错误…………………………………………………………2分0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0Ef x dx =⎰…5分四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
解：1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,101()3f x dx x dx ==⎰⎰…8分2、（8分）求0ln()lim cos xn x n e xdx n ∞-+⎰解：设ln()()cos xn x n f x e x n-+=，则易知当n →∞时，()0n f x →…………………………..2分又因'2ln 1ln 0t t t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，ln()ln()ln 3ln 3(1)33x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………………4分 从而使得ln 3|()|(1)3x n f x x e -≤+…………………………………6分但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有lim ()lim ()0n n nnf x dx f x dx ∞∞==⎰⎰…………………………………8分五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .证明：设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂B M B ∴∃⊂是无限集，可数子集 …………………………2分 .A A MM ∴⋃是可数集， ……………………………….3分(\),(\),()(\),(\),B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=且…………..5分,.E B B c ∴∴=………………………………………………6分2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。
证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞'∀∈=则存在中的互异点列使……….2分,()n n x E f x a ∈∴≥………………………………………….3分x E ∴∈…………………………………………………………5分E ∴是闭集.…………………………………………………….6分3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。
证明：对1ε=，0δ∃〉，使对任意互不相交的有限个(,)(,)i i a b a b ⊂ 当1()ni i i b a δ=-<∑时，有1()()1ni i i f b f a =-<∑………………2分将[,]a b m 等分，使11ni i i x xδ-=-<∑，对:T ∀101i x z z -=<k i z x <<=，有11()()1ki i i f z f z -=-<∑，所以()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数 (5)分 所以1()1,ii x x f V -≤从而()baf mV ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数…………………………………………………………..6分4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n nn me ⋅=.证明：()f x 在E 上可积lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞⇒≥==+∞=……2分据积分的绝对连续性，0,0,,e E me εδδ∀>∃>∀⊂<，有|()|ef x dx ε<⎰………………………………………………….4分对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>∃∀>≥<，从而|()|nn e n me f x dx ε⋅≤<⎰，即lim 0n nn me ⋅=…………………6分5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。
(鲁津定理的逆定理) 证明：,n N ∀∈存在闭集()1,,()2n n n F E m E F f x ⊂-<在nF 连续………………………………………………………………2分令1nk n kF F ∞∞===，则,,,()n n n kx F k x F n k x F f x ∞=∀∈⇒∃∈⋂∀≥∈⇒在F 连续…………………………………………………………4分 又对任意k ,()[()][()]n n n kn km E F m E F m E F ∞∞==-≤-⋂=⋃-1()2n kn km E F ∞=≤-<∑…………………………………………….6分 故()0,()m E F f x -=在F E ⊂连续…………………………..8分 又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的 可测函数………………………………………………………..10分。