1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影已知，正面投影为 双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
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例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
截交线
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截交线
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1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。
例12 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。
例13 分析并想象出圆球穿孔后的投影
5-2 两立体相交
5.2.1 概 述 5.2.2 求作两曲面立体的相贯线 5.2.3 相贯线的特殊情况 5.2.4 组合相贯线
（2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓 转向点、曲线特征点和结合点四种。
（３） 根据需要求出若干个一般点。
（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。
（５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并 擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。
例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。
5.1.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平 面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’
3 2 1
a’
a 1
b’
s3 2
b
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影 为矩形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性；
4 整理轮廓线。
Ⅱ
Ⅳ Ⅰ
Ⅲ
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例7 求截切圆柱截交线的投影。
1'
4'
5'
3' 2'
4" 1" 5" 3"
2"
12 3
4 5
2. 平面与圆锥相交
a’
PV
e’(f ’)
QV
g’(h’) RV
b’
a” PW
QW
b”
RW
df
h
a
b g
ce
例5 求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3
3' 4' 1'
PV4 5'
2'
1" 4" 3"
5" 2"
yy
yy
1
PH1
2
5
4 3
3. 辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立体表 面交线的投影为直线或圆。
y
s
3 2
1
c’ a(c) y
b
c
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
A B
例2 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
4'
1' a'
4"
2' 3'
b'c' c"
c 3
3" y
1" 2" a" y
解题步骤
1 分析 截交线的正 面投影已知，水平投 影和侧面投影未知；
2 求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
b" ；
3 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性；
可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮
廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区
分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
2 锥状面的画法
4. 双曲抛物面
1 双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平
面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2 双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3 双曲抛物面的截交线
2 双曲抛物面的画法
这样形成的曲面称为柱状面 2 柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
2 柱状面的画法
5.3.2.3 锥状面
1 锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一
导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 2 锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
3 求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 4 光滑且顺次地连接各点，作
出截交线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
7"
Ⅵ
Ⅰ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅷ
Ⅲ
7
5
3
Ⅱ
Ⅶ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别
截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别
两圆锥共锥顶相贯线 为相交两直线
两圆柱轴线平行相贯线 为平行两直线
5.2.4 组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相 贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。
处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体 相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
例7 求作物体相贯线的投影
3 双曲抛物面的截交线
本章小结
1.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交， 求表面交线的方法；掌握截交线的性质及求截 交线的方法；
2.掌握两回转体表面相交时相贯线的性质及用 表面取点法、辅助平面法求两回转体相贯线的 原理、作图方法；掌握相贯可见性的判别方法; 了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。
5-3* 曲线与曲面
5.3.1 曲 线 5.3.2 曲 面
5.3.1.1 螺旋线
1 圆柱螺旋线的形成
当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行 的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。
2 圆柱螺旋线的画法
螺旋线的画法
5.3.1.2 正螺旋柱状面
1 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直
圆
两条相交直线
椭圆
抛物线
双曲线
例8 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 3 求出一般点Ⅴ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
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例9 求正平面与圆锥的截交线。
例6 求圆柱与圆锥斜交的相贯线
解题步骤
1 分析 圆 柱与圆锥轴 线斜交，相 贯线的三个 投影均未知 ，可利用辅 助球面法求 共有点；
2 '
3 ' 1 '
2 1
3
步骤1
2 "
3 " 1"
作图步骤 2 求特殊点Ⅰ、Ⅱ，其 中Ⅱ点也是最大辅助球 面上的点
3 求小辅助球面上的点Ⅲ
2 '
4' 3 ' 5' 1 '
第五章 立体表面的交线
5－1 平面与立体相交 5－2 两立体相交 5－3* 曲线与曲面
截交线的概念
截交线
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的平面图形或多边形。
1 单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。
2 单叶双曲回转面的画法 （1） 画出回转轴及直导线的两面投影； （2） 作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影： （3） 作出若干素线及外视转向线的投影。