2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1n n a n→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。

【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。

已知A α与α线性相关，则______a =。

【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得：233411a a a a ++==，从而1a =-。

则2X 和2Y 的协方差22(,)_______Cov X Y =。

【分析】本题主要考查利用随机变量X 和Y 的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。

【详解】法一：由题设可得10.40.6X⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1010.150.50.35Y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2010.40.6X ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2010.50.5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2210.720.28X Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而 2()0.6E X =， 2()0.5E Y =，22()0.28E X Y =故 222222(,)()()()0.280.30.02COV X Y E X Y E X E Y =-=-=- 法二：由题设可得10.40.6X⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1010.150.50.35Y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而222()00.410.60.6E X =⨯+⨯=，2222()(1)0.1500.510.350.5E Y =-⨯+⨯+⨯=2222222222()(1)00.07(1)10.08000.18010.32E X Y =-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2222100.15110.200.28+⨯⨯+⨯⨯= 故 222222(,)()()()0.280.30.02COV X Y E X Y E X E Y =-=-=-⑸ 设总体的概率密度为(),(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______【分析】根据矩估计的定义计算即可. 【详解】由于()()()(;)lim tx x t E X xf x dx xed xde θθθθθθ+∞+∞-----∞→+∞===-⎰⎰⎰()lim 1tx t edx θθθθ--→+∞=+=+⎰ 根据矩估计量的定义,满足()E X X =的ˆθ即为θ的矩估计量,因此11ˆ11ni i X X n θ==-=-∑ 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴ 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 （A ）当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ= （B ）对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=（Ｃ）当()()f a f b =时，(,)a b ξ∈，使()0f ξ'= （Ｄ）存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-【分析】本题主要考查零点定理、微分中值定理的理解及函数连续的概念。

【详解】由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，只能说明()f x 在开区间(,)a b 内连续且可导，不能保证函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，从而零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A ）、（C ）、（D ）三选项都错； 由于可导必定连续，从而()f x 在开区间(,)a b 内连续，所以对任何(,)a b ξ∈，有lim ()()x f x f ξξ→=，从而应选（Ｂ）⑵ 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13，则幂级数221n nn na xb ∞=∑的收敛半径为（Ａ）5（Ｃ）13 （Ｄ）15【分析】本题借用加强法来完成，即假设1limn n n a a +→∞与1lim n n nbb +→∞都存在。

【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知：111lim n n n n n a x x a x +-+→∞=， 1111lim ()3n n n n n b x x b x +-+→∞=从而2112222222111122222112lim lim lim lim ((3)53n n n n n n n n n n n n n n n n n na xb a b a b x x x x a a b a b x b ++---+++→∞→∞→∞→∞++==== 所以应选（A ）。

⑶ 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组（Ａ）当n m >时仅有零解（Ｂ） 当n m >时必有非零解 （Ｃ）当m n >时仅有零解 （D ）当m n >时必有非零解【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。

【详解】齐次线性方程组0ABx =有非零解的充要条件是()r AB m <。

而当m n >时 ()()r AB r A n m ≤≤<所以当m n >时线性方程组0ABx =必有非零解。

故应选（D)。

⑷ 设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。

已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵1()TP AP -属于特征值λ的特征向量是（A ） 1P α- （B ）TP α （C ） P α （D ）1()TP α-【分析】本题主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。

利用特征值的定义检验。

【详解】由已知A αλα=，于是T T P A P αλα=， 1()T T T T P A P P P αλα-=又由T A A =，可得1()TTTP AP P P αλα-=，可见矩阵1()TP AP -属于特征值λ的特征向量是TP α。

故应选（B)⑸ 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（A ）X Y +服从正态分布 （B ）22X Y +服从2χ分布（C ）2X 和2Y 都服从2χ分布 （D ）22X Y服从F 分布【分析】主要考查正态分布的性质及2χ分布、F 分布的定义。

利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从2χ分布、F 分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。

【详解】由于X 和Y 不一定相互独立，故（A ）、（B ）、（D ）不一定成立。

由于随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，所以2X 和2Y 都服从2χ分布。

故应选（C ）。

三、（本题满分5分）求极限2[arctan(1)]lim(1cos )xu x t dt du x x →+-⎰⎰【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。

对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。

【详解】法一：222[arctan(1)][arctan(1)]limlim1(1cos )2xu xu x x t dt du t dt du x x x x →→++=-⋅⎰⎰⎰⎰22002arctan(1)2arctan(1)limlim 3362x x x t dt x x x x π→→++===⎰ 法二：22[arctan(1)]arctan(1)limlim(1cos )1cos sin xu x x x t dt du t dtx x x x x→→++=--+⎰⎰⎰22002arctan(1)2arctan(1)limlim sin 2sin cos 62cos x x x x x xx x x x xπ→→++===++ 四、（本题满分7分）设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du【分析】本题综合考查了多元函数微分法与隐函数微分法。

【详解】将已知条件给出的所有关系式求微分得(1)(1)(1)x y z x y zdu f dx f dy f dzx e dx y e dy z e dz '''=++⎧⎪⎨+-+=+⎪⎩从而 (1)(1)(1)x y x y z z x e dx y e dydu f dx f dy f z e +-+'''=⋅+⋅+⋅+(1)(1)()()(1)(1)x yx z y z z zx e y e f f dx f f dy z e z e++''''=+⋅+-⋅++五、（本题满分6分）设2(sin )sin x f xx =，求()x dx 【分析】先求出()f x 的表达式，再计算不等积分。

【详解】法一：令2sin u x =，则sin x =x=，从而()f u=于是()2x dx ==-⎰dx=-C =-法二;令2sin xt =，则22sin ()(sin )2sin cos 2sin cos sin t t x dx f t t tdt t dt t t =⋅⋅=⋅⎰⎰2sin 2cos 2cos 2sin t tdt td t t t t C ==-=-++⎰⎰、C =-六、（本题满分7分）设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0,y x a ==所围成的平面区域，其中02a <<（Ⅰ）试求1D 绕x 轴旋转而成旋转体的体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成旋转体的体积2V ；（Ⅱ）当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值。