基础知识回顾
1. 倍长中线 已知任意三角形一边上的中点，可以连出过中点的线段并加倍延长， 从而达到构造全等三角形的目的，如图 B 倍长中线法构造全等三角形，可以得到一组平行且相等的边， 从而可知，倍长中线的本质是“构造平行四边形”
D A
D A
M
C
B
M E
C
几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
E
F
B
【例2】 如图，点 D 、 E 三等分 △ ABC 的 BC 边．求证： AB AC AD AE ．
A
D
C
B
D
E
C
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几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
【例3】 分别以 △ ABC 的边 AB ，AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG ， M 为 BC 中点，求证： EG 2 AM ．
A
A M C B
A 30
B
D
C
B
A
C
D
E
B 图
C
A O M N
B
版块一：倍长中线
典题精练
【例1】 ⑴ 如下图，已知在 △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE AC ，延长 BE 交 AC 于 F ．求证： AF EF ． ⑵ 已知 △ ABC 中， AB 12 ， AC 30 ，求 BC 边上的中线 AD 的范围． A
A G F
D B
H E C
【例8】 如图 1 所示， P 是 △ ABC 内的一点， PAC PBC ，过点 P 分别作 PM AC 于点 M ， PL BC 于点 L ， D 为线段 AB 的中点，求证： DM DL .
C
L M P
A
图1 D
B
4
几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
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2. 特殊三角形 ⑴ 等腰三角形“三线合一” ⑵ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ⑶ 直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半 3. 中位线 如图， △ ABC 中， D、E 分别为 AB、AC 中点， 则线段 DE 叫做 △ ABC 的中位线． 1 易证 DE ∥ BC 且 DE BC ． 2 4. 中心对称图形 如图， O 分别为 AN 、BM 中点， 则 △ ABO≌△MNO ． 易知 △ ABO 和 △MNO 关于点 O 中心对称．
A
C
E
M
D
B
几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
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版块三：中位线
【例6】 已知ᇞABC 中，AB=AC，D 点为 BC 延长线上一点，且 DC=BC，E 是 AB 延长线上的一点， 且 BE=2AB．求证：DE=2AD．
A
典题精练
B
C
D
E
【例7】 如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别为 BC、AD 中点，BA 交 EF 延长线于 G，CD 交 EF 于 H． 求证：∠BGE=∠CHE
E G D A F B M C
版块二：直角三角形斜边上的中线
典题精练
【例4】 如图， 在 △ ABC 中，BE 、CF 分别为边 AC 、AB 上的高，D 为 BC 的中点，DM EF 于 M ． A 求证： FM EM ．M FEBD
C
【例5】 已知： △ABD 和△ACE 都是直角三角形， 且∠ABD=∠ACE=90°， 连接 DE， 设 M 为 DE 中点， 连接 CM、BM. 求证：CM=BM
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中点模型
知识点睛
很多几何题会给出“×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点” 有哪些作用呢？ 比如，由于中线与中点联系是非常紧密的，很容易联想到倍长中线是处理中线问题的常用手段； 另外，由于直角三角形斜边中线是斜边一半，所以也会作直角三角形斜边中线这条常用辅助线； 由于中位线的特殊性，所以三角形以及梯形的中位线也与中点是息息相关的； 更进一步地，中点还与中心对称图形有着不可分割的关系。 基于以上的一些联想，将中点问题归纳总结如下： 倍长中线 中线 斜边中线 三线合一 已知中点 中位线 一中点，作平行 中点 两中点，直接连 等腰三角形底边中点 隐含中点 直角三角形斜边中点 中心对称图形对应点连线的交点