d
设曲线 r ( ) 及射线 , 围成一曲边扇 形，求其面积 . 这里 ( ) 在 [ , ] 上连续，且 ( ) 0 .
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
2

r ( )
d
o x
曲边扇形的面积 A 1[ ( )]2 d .
7
7
(3)以所求量 U 的元素 f (x)dx 为被积表达式，
在区间[a,b] 上作定积分，得U b f (x)dx， a
即为所求量 U 的积分表达式 .这个方法通常 叫做微元法 或元素法。
应用方面 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
8
8
第二部分 平面图形的面积
于是 A f ( x)dx .
o a x x dxb x
A

lim
f
( x)dx
b
a f
( x)dx.
5
5
当所求的量U 符合下列条件： (1) U 是 与 一 个 变 量 x 的 变 化 区 间[a,b] 有 关 的 量 ；
(2) U 对于区间[a,b] 具有可加性，就是说，如果把 区间[a,b] 分成许多部分区间，则U 相应地分成 许多分量，而U 等于所有部分量之和；
(3) 部 分 量 U i 的 近 似 值 可 表 示 为 f ( i )xi；
就 可 以 考 虑 用 定 积 分 来表 达 这 个 量U .
6
6
二、微元法的一般步骤：
(1) 根据问题的具体情况，选取一个变量，例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；
(2) 设想把区间[a,b] 分成 n 个小区间，取其中 任意一个小区间并记作 [x, x dx]，求出相 应于这小区间的部分量 U 的近似值 .如果 U 能近似地表示为[a,b] 上的一个连续函数 在 x 处的值 f (x) 与 dx 的乘积，就把 f (x)dx 称为量 U 的元素，记作 dU ，即 dU f (x)dx;
第四节 定积分的应用
1
1
第一部分 定积分的微元法
一、问题的提出 二、微素法的一般步骤：
2
2
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)， x轴与两条直线x a, x b所围成
A

b
a
f
(
x )dx
y
y f (x)
oa
bx
3
13
13
例3Hale Waihona Puke 求椭圆 x2 a2
y2 b2

1的面积.
解
椭圆的参数方程
x

y

a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A

4 0
ydx
4
bsin td(a cos t )
2

4ab 2 sin2 tdt a b. 0
14
14
二、极坐标系情形
的面积 .
解 dA 1 a2 (1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2

(1 cos )2 d
20

a2 (1 2cos cos2 )d 0

a
2

3
2

2 sin

1 sin 2
4


0

3
2
a2.
17
17
n
A f (i )xi .
i 1
4
4
(4) 求极限，得 A的精确值
n
A

lim
0

i 1
f
( i
)xi

b
f ( x)dx
a
提示：若用 A 表示 任意小区间 y
[ x, x dx] 上的窄曲边梯形的面积，
y f (x)
则 A A，并取 A f ( x)dx，

1. 3
11
11
例2 计算由曲线 y2 2 x 和直线 y x 4 所围成 的图形的面积
解 两曲线的交点
y2 2x

y

x

4
(2,2), (8,4).
选 y 为积分变量， y [2, 4]
y x4
y2 2x
dA y 4 y2 dy,
例1 计算由两条抛物线 y2 x 和 x y2 所围成 的图形的面积.
解 两曲线的交点 (0,0) , (1,1) .
选 x为积分变量 x [0,1]
面积元素 dA ( x x2 )dx
x y2 y x2
1
A ( 0
x

x2 )dx

2 3
3
x2

x3 1 3 0
第三部分 体 积
一、平行截面面积为 已知的立体的体积
二、旋转体的体积
18
18
一、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形
9
9
一、直角坐标系情形
y y f (x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
y
y f2(x)
y f1( x)
oa
xx b x
曲边梯形的面积
b
A [ f ( x) f ( x)]dx
a
2
1
10
10

2
4
A dA 18. 2
12
12
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x (t)

y


(t
)
曲边梯形的面积 A t2 (t ) (t )dt. t1
(其中t1 和 t2 对应曲线的起点与终点的参数值)
在 [t1, t2 ] (或[t2 , t1])上 x (t ) 具有连续导数 , y (t) 连续.
3
面积表示为定积分的步骤如下
(1) 把区间[a,b] 分成 n 个长度为xi的小区间，相应 的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第 i 个小
n
窄曲边梯形的面积等于Ai , A Ai；
i 1
(2) 计算 Ai 的近似值
Ai f ( )xi , i xi ;
(3) 求和，得A的近似值
2
15
15
例4 求双纽线 2 a2 cos 2 所围成的平面图形
的面积 .
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A 1
A 4
4
1 a2 cos 2d
a2.
02
y x A1
2 a2 cos 2
16
16
例5 求心形线 r a(1 cos ) 所围成的平面图形