线面垂直的判定和性质定理（习题课）A组 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 ③ 7 ①② 8a或2a9 (2) d＝105. 10 (2) V＝ 3 (3)64B组 1 D 2 ①②③ 3 (2)433(3)32A组基础训练一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．【答案】 C2．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．0【解析】根据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题①③错误．【答案】 B3．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.【答案】 D图7－5－104．(2014·大连模拟)如图7－5－10，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，S D ⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于S C与平面SBD所成的角D．AB与S C所成的角等于DC与SA所成的角【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵S D⊥底面ABCD，∴S D⊥AC.其中S D∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，从而AC⊥S B.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，S C与平面SBD所成的角为∠C SO，又OA＝OC，SA＝S C，∴∠ASO＝∠C SO.故C正确；由排除法可知选D.【答案】 D5．(2014·郑州模拟)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【解析】C中，当m∥α，m∥n时，有n∥α或n⊂α，当n⊥β时，有α⊥β，故C正确．【答案】 C二、填空题图7－5－116．如图7－5－11，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC 的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．【答案】③图7－5－127．如图7－5－12，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DE C；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥A B.【解析】取AE的中点F，连接MF，N F，则MF∥DE，N F∥AB∥CE，从而平面MF N∥平面DE C，故MN∥平面DE C，①正确；又AE⊥MF，AE⊥N F，所以AE⊥平面MF N，从而AE⊥MN，②正确；又MN与AB是异面直线，则③错误．【答案】①②图7－5－138．如图7－5－13，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)，设AF＝x，则CD2＝DF2＋F C2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.【答案】a或2a三、解答题图7－5－149．(2013·江西高考)如图7－5－14，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，E C ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．【解】 (1)证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，F C ＝2.在Rt △BFE 中，BE ＝ 3.在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BE C 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC .由BB 1⊥平面ABCD ，得BE ⊥BB 1，所以BE ⊥平面BB 1C 1C.(2)连接B 1E ，则三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2. 同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32， A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝23，故S △A 1C 1E ＝3 5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1－EA 1C 1的体积V ＝13·d ·S △EA 1C 1＝5d ， 从而5d ＝2，d ＝105.图7－5－1510．(2014·青岛模拟)在如图7－5－15所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；(2)求多面体ABCDE的体积；(3)求直线E C与平面ABED所成角的正弦值．【解】(1)如图，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH綊12ED，∴FH綊AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD；(2)取AD中点G，连接C G.AB⊥平面ACD，∴C G⊥AB又C G⊥AD，∴C G⊥平面ABED，即C G为四棱锥的高，C G＝3，∴V C－ABED＝13·（1＋2）2·2·3＝ 3.(3)连接EG，由(2)有C G⊥平面ABED，∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角．在Rt△CEG中，sin∠CEG＝CGCE＝322＝64. B组能力提升1．如图7－5－16所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()图7－5－16A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】 D图7－5－172．如图7－5－17所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．【解析】由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．【答案】①②③图7－5－183．(2013·浙江高考)如图7－5－18，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，P A＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求D G与平面APC所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BG D ，求PG GC 的值．【解】 (1)证明 设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线，所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .所以BD ⊥平面APC .(2)连接OG .由(1)可知，OD ⊥平面APC ，则D G 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OG D 是D G 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23， 所以OC ＝12AC ＝ 3.在直角△OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝7－3＝2. 在直角△OG D 中，tan ∠OG D ＝OD OG ＝433.所以D G 与平面APC 所成的角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BG D ，OG ⊂平面BG D ，所以PC ⊥OG .在直角△P AC 中，PC ＝ P A 2＋AC 2＝3＋12＝15，所以G C＝AC·OCPC＝23×315＝2155.从而PG＝3155，所以PGGC＝32.。