2016 年第 57 届 IMO 中国国家队选拔考 试
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第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天 2016 年 3 月 16 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2016 年 3 月 25 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第二天 2016 年 3 月 26 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天 2016 年 3 月 20 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第二天 2016 年 3 月 21 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
������������(������������ + ������) ≡ ������������(������������ + ������′) + ������(mod������)
证明: △������ ������������, △������ ������������, △������ ������ ������ 的外接圆交于除 ������ 外的另一点 ������ .
M
A
N F
E P
B D
C L
2. 求最小的正数 ������, 使得对平面上任意 12 个点 ������1, ������2, ⋯ , ������12(允许重合), 若它们中任意两点之 间的距离不超过 1, 则有 ∑ |������������������������|2 ≤ ������.
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!
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4. 设正整数 ������ = 2������ ⋅ ������, 其中 ������ 为非负整数, ������ 为奇数, 定义 ������ (������) = ������1−������.
������
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4. 设整数 ������, ������ ≥ 2, 数列 {������������} 满足 ������1 = ������, ������������+1 = ������������������ + ������(������ = 1, 2, ⋯). 证明: 对于每个整数 ������ ≥ 2, 存在 ������������ 的素因子 ������, 使得对 ������ = 1, ⋯ , ������ − 1, 有 ������ ∤ ������������.
证明: 若 ������, ������, ������ , ������ 四点共圆, 则 ������, ������ 关于 ������������ 对称.
A
I
X B
J D
Y
C
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4. 设 ������, ������, ������′, ������, ������, ������ 均为正整数, 其中 ������ > 1, ������ > 1, |������ − ������′| ≥ ������. 已知存在一个正整数 ������, 使得
5. 如图所示, 四边形 ������������������������ 内接于圆 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分线相交于点 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分
线相交于点 ������ , 直线 ������������ 不经过点 ������, 且与边 ������������, ������������ 的延长线分别交于点 ������ , ������, 与边 ������������, ������������
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8:00-12 30
1. 如图, 在圆内接六边形 ������������������������������������ 中, ������������ = ������������ = ������������ = ������������. 若线段 ������������ 内一点 ������ 满足
1
1
⎛
⎞2 ⎛
⎞ ������
������
(������)
=
⎜⎜⎝���∑ ���������⩽������
������������������2������ ⎟⎟ ⎠
+
⎜⎜⎝���∑ ���������>������
������������������������������
⎟ ⎟
⎠
.
证明:
若正数
Z
Y D
S
C
P
T
A
B
X
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8:00-12 30
1. 设 ������ 为大于 1 的整数. ������ 为实数, 0 < ������ < 2, ������1, ⋯ , ������������, ������1, ⋯ , ������������ 均为正数. 对 ������ > 0. 设
∠������������������ = ∠������������ ������, ∠������������������ = ∠������������ ������. 证明: ������������ = ������������ .
B C
A
D K
F
E
2. 求最小的正实数 ������, 使得对任意三个复数 ������1, ������2, ������3 ∈ {������ ∈ ������||������| < 1}, 若 ������1 + ������2 + ������3 = 0, 则 |������1������2 + ������2������3 + ������3������1|2 + |������1������2������3|2 < ������.
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!5 572016 3 20
8:00-12 30
1. 如图所示, ������ 为锐角 △������������������ 内一点, ������, ������, ������ 分别是 ������ 关于 ������������, ������������, ������������ 的对称点, ������������ , ������������ , ������������ 的延长线与 △������������������ 的外接圆分别交于点 ������, ������, ������.
3. 给定整数 ������ ≥ 2, 设集合 ������ = {(������1, ������2, ⋯ , ������������)|������������ ∈ {0, 1, ⋯ , ������}, ������ = 1, 2, ⋯ , ������}.
对任意元素 ������ = {������1, ������2, ⋯ , ������������} ∈ ������, ������ = (������1, ������2, ⋯ , ������������) ∈ ������, 定义 ������ ∨ ������ = (max{������1, ������1}, max{������2, ������2}, ⋯ , max{������������, ������������}),
分别交于点 ������, ������. 线段 ������ ������, ������������ 的中点分别为 ������, ������. 证明:������������⊥������������.
D A
R
SI
O
MN
JQ
B
C
P
6. 设 ������, ������ 为整数, ������ ≥ ������ ≥ 2, ������ 是一个 ������ 元整数集合. 证明: ������ 至少有 2������−������+1 个子集, 每个子 集的元素和均被 ������ 整除. (这里空集的元素和约定为 0.)
1≤������<������≤12
3. 设 ������ 是一个由有限个素数组成的集合, ������ 是一个无限正整数集合, 其中每个元素均有不在 ������ 中的素因子. 证明: 存在 ������ 的无限子集 ������, 使得 ������ 的任意一个有限子集的元素和均有不在 ������ 中 的素因子.
3. 如图, 圆内接四边形 ������������������������ 中, ������������ > ������������, ������������ > ������������, ������, ������ 分别是 △������������������, △������������������ 的内心, 以 ������������ 为直径的圆与线段 ������������ 交于点 ������, 与 ������ ������ 的延长线交于点 ������ .