《解析几何》专题训练一、选择题1、（04福建）在平面直角坐标系中,方程1(,22x y x y a b ab+-+=为相异正数),所表示的曲线是A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 1,D 令y x =,得y x a ==±,令y x =-得x y b =-=±,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a ,(,)a a --,(,)b b ,(,)b b --,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知它是非正方形的菱形.2、若椭圆2213620x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为A,B,(-C,(3,D,(3,- C 设00(,)P x y ,又椭圆的右准线为9x =,而122PF PF =,且1212PF PF +=, 得24PF =,又20293PF e x ==-,得03x =,代入椭圆方程得0y =3、设双曲线22221x y a b -= 的离心率e 2⎤∈⎥⎣⎦，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( ) C A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。

（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。

正确答案为C 。

5、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（B ） （A ）相交 （B ）相切（C ）相离 （D ）以上情况均有可能6、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+y x 所表示的曲线是（ ）（A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆（C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确07广西 解：))(1360(19)1360(19)19(19191003100322007+∈+=+⨯=⨯=N n n于是，19sin )1919360sin()19sin(2007=+⨯=n ，同理 19cos )19cos(2007=。

因为019sin 19cos >>，故应选（C ）7、过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,则AFB ∆的最大面积为A,bc B,ab C,ac D,2b A (1)当AB x ⊥轴时,1(2)2AFB S b c bc ∆=⋅⋅=; (2)当AB 与x 轴不垂直时,设AB 的方程为y kx =,由22221y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得2222222k a b y b k a =+. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1y =,2y =,1211()22AFBS c y y ∆=+==bc =<. 8、已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ，(1,)+∞B ，(1,2] C， D ，(1,3]D222122222(2)44448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥+=，当且仅当2224a PF PF = 即22PF a =时取等号。

这时14PF a =.由1212PF PF F F +≥，得62a c ≥， 即3ce a=≤，得(1,3]e ∈.二、填空题9、若直线x cos θ＋y sin θ＝cos 2θ－sin 2θ（0＜θ＜π）与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则θ的取值范围是 ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ10、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是 ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。

又∵HQ=λPH ，所以λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=y y x x 11)1(3λλ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33[321322322∈-=-λλλ。

故选C 。

11、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 07江西22y px =，则顶点及焦点坐标为()0,0,,02p O F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若设点M 坐标为(),M x y ，则22222222242MO x y x px p MF p x px x y ++⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭()222222224313234444x px x px px x px x p x px ++=≤=+++++，故3MO MF ≤．（当()(),,M x y p p =或()(),,M x y p p =-时取等号）12、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .07广西答案：2214536x y +=；解：设直线l 上的点为(),9P t t +，取()13,0F -关于直线l 的对称点()9,6Q -，据椭圆定义，12222a PF PF PQ PF QF =+=+≥== ，当且仅当2,,Q P F 共线，即22PF QF K K =，也即96312t t +=--时，上述不等式取等号，此时5t =-， 点P 坐标为()5,4P -，据3,c a ==得，2245,36a b ==，椭圆的方程为2214536x y +=.三、解答题13、已知抛物线2128y x x =-+-和点111(,)48A 。

过点11(,)48F -任作直线，交抛物线于B,C 两点。

（１） 求△ＡＢＣ的重心轨迹方程，并表示成()y f x =形式；（２） 若数列{}k x ，1102x <<，满足1()k k x f x +=。

试证：1135nkk k x +=<∑。

（３） 07浙江A 卷解：（１）设过11(,)48F -的直线方程为11()84y k x +=-。

又设11(,)B x y ，22(,)C x y ，联立方程组，211()84128y k x y x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩消去y ，得22(1)04kx k x +--=。

从而有， 1212k x x -+=-，21212111()2424k y y k x x +=+--=--。

………… 5分设△ＡＢＣ的重心坐标为(,)x y ，则12121431183x x x y y y ⎧++⎪=⎪⎪⎨⎪++⎪=⎪⎩23212368k x k y -⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩消去ｋ，即得 263y x x =-+。

…………10分 （２）因为1102x <<，21()x f x =21163x x =-+113(12)x x =-，所以 2112112(12)3303(12)228x x x x x +-⎛⎫<=-≤= ⎪⎝⎭，上式右边等号成立当且仅当114x =。

假设308k x <≤，则 212(12)3303(12)228k k k k k x x x x x ++-⎛⎫<=-≤= ⎪⎝⎭， …………15分上式右边等号成立当且仅当14k x =。

由此得到308k x <≤（2,3,k = ）。

从而有 11133********k nnnkk k k x+==⎡⎤⎛⎫⎛⎫<≤=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑。

…………20分14、椭圆22194x y +=的右焦点为F ，1224,,,P P P 为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中1P 是椭圆的右顶点，并且122334241PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠==∠ ．若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求2S 的值． 06江苏14．解：椭圆中，3a =，2b =，故c =．所以)F，e =． 设i FP 与x 轴正向的夹角为i ϑ，i d 为点i P 到右准线的距离．则()2cos 1i i a d e c c ϑ+=-．即()21cos 1i i ce d b ϑ=+．同理()()1222121cos 1cos 1i i i c ce d b b ϑϑ++=+=-+．图3所以212112i i c d d b ++== 从而2411i id ==∑ 2180S =． 15、如图3，A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点.P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()AP BP AQ BQ λ+=+(,1)R λλ∈>.设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是12,k k ，34,k k .(I)求证：12340k k k k +++=；（II ）设12,F F 分别为椭圆和双曲线的右焦点；若21//PF QF ，求22221234k k k k +++的值.15.（1）设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则2222112a x a y b-=.所以21111112222111122y y x y x b k k x a x a x a a y +=+==⋅+--。

① 同理可得2234222x b k k a y +=-⋅。

②设O 为原点，则2AP BP OP += ，2AQ BQ OQ +=。

而()AP BP AQ BQ λ+=+ ，得OP OQ λ=，于是O 、P 、Q 三点共线。

所以1212x x y y =。

由①、②得12340k k k k +++=。

（2）由点Q 在椭圆上，有2212221x y a b +=。

由OP OQ λ=，得1122(,)(,)x y x y λ=。

所以211x x λ=，211y y λ=，从而2221222x y a b λ+=。

③又由点P 在双曲线上，有2211221x y a b-=。