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衡阳市数学学会 练习 1.对任意的正数 x, y ，若不等式 x xy a(x 2y) 恒成立，求实数 a 的最小值.
策略三、构造同型函数策略
例 3.函数 f (x) (a 1) ln x ax2 1(a 2) ，证明：x1, x2, f (x1) f (x2 ) 4 x1 x2 .
f
x2
Hx
ln 2x
x
1 4x
， x 0，1 2
， H 'x
2x 12
4x2
0.
H x在 0，1 单调递减， H x H 1 0 ，依题 m 0 .
2
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【评注】本题中两个变量 x1, x2 再加上参数 a ，三变量鼎立，令人心烦，但三者又有两个方 程，虽不能解之，但通过两方程可得到三者之间的关系，我们就是利用这个桥梁关系，进行 合理消元进而化为一元函数式，构造函数解之.消元与化元其实就是一个化繁为简的过程， 应证了我们的教学理念 “ 将复杂问题简单化！”在解二元最值问题上，也可尝试消元构造 函数或三角换元，化为一元.
a 2
x1
x2
1 2x1
1 2x1
，
f
x1
f
x2
ln
x1 x2
x12 x22
a x1
x2
ln 2x12
x12
1 4x12
，
x1
x2
，
1 2
x1
x2
x12
0
x12
1 2
，令
x
x12
0，1 2
，
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衡阳市数学学会
f
x1
由此对比：两边已化为结构相同的函数，故可由单调性定义，只须证明：
g(x) f (x) 4x(a 2) 在 (0, ) 上单调递减即可.
【评注】对于以上双变量问题，式子结构有着高度的和谐、对称性，不妨顺应自然，将变量 分别集中，再发现式子的共性（即变成结构相同的函数模型），予以构造同型函数予以求解. 有时也会化为斜率式，从几何意义角度出发处理双变量.
练习
1.函数
f
(x)
x2 (x 0) ex (x 0)
，若
f
2 (x)
a 恰有两根
x1, x2
，求
x1
x2 的取值范围.
练习 2.已知函数 f (x) x2 2x a ln x(a 0) 的两个极值点为 x1, x2 (x1 x2 ) 且
f (x1) mx2 恒成立，求 m 的范围.
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微专题之《浅谈双变量问题的常见解决策略》
问题一:已知实数
x,
y
满足：
2x y x 3y
1
，求
x,
y
的值.
问题二:已知实数 x, y 满足： x2 y2 1，求 3x 4y 的范围.
问题三:某汽车公司，分别在甲、乙两地销售汽车，若在甲、乙两地销售汽车的数量 x （辆）
与销售利润 y （万元）的关系分别为： y x 与 y x2 17x 9 ，现有 20 辆汽车，问甲、
策略二、齐次化策略
例 2．已知 x, y R 满足: 2x2 xy 2y2 1，求W 3x2 4y2 的取值范围.
【简析】细观此式，消元似无望！但W
3x2 2x2
4y2 xy 2 y2
=ห้องสมุดไป่ตู้
2
3 4( y )2 x
( y ) 2( y )2
，不妨令
y x
t
，
xx
W
3 4t2 2 t 2t2
策略一、消元与化元策略
例 1. 已知函数 f x ln x x2 ax a 0 ，若 x1, x2x1 x2 是函数 f x 的两个极值点， 且 f x1 f x2 m 恒成立，求实数 m 的取值范围.
【简析】
f
x
1 x
2x
a
2x2
ax x
1
，依题：
x1
x1
x2
a 2
x2
1 2
4
44
乙两地各销售多少辆，使得总利润最大？
【简析】问题一为二元一次方程组问题，消去 x 或 y ，得到一元一次方程而解之；
对于问题二，由式子平方和为
1
的结构，我们容易联想到三角换元，不妨令
x
y
cos sin
，
3x 4y 3cos 4sin 5sin( ) [5,5] ，通过三角换元，化二元为一元有界性问题.
y
m 4
n2 4
17n 4
，这般设未知数虽增大了解题难度.但展现了许多学生的原生态思维. 9
【评注】以上三个问题，我们不难发现对于一些二元问题，我们最容易想到消元与化元策略， 其实也是方程思想的应用，未知数越少，心里压力越少.所以如何合理设未知数，我们也倾 向于引导学生设未知数越少越好！故而对于双变量相关问题，我们第一感觉想到的就是：
对于问题三，在设未知数之时，我们一般设在乙地销售汽车 x 辆，在甲地销售汽车 (20 x) 辆，
故总利润为
y
x2 4
17x 4
9
20 4
x
1 (x 8)2 4
12. 显然
x
8,
ymax
12.
但也发现有学生这样设未知数：设在甲地销售汽车 m 辆，在乙地销售汽车 n 辆，故有：
m n 20
.瞬间,二元化为一元了.至少难度已经下来！
对于转化后的式子的处理，我们有很多方法，如法一：判别式法，法二：构造函数求导法， 法三：变量分离化为对勾函数模型等.在这里不妨再思考：若是求 x y 的最大值呢？
【评注】齐次化构造，一般适宜于分式结构，通过相除方式，将双变量合二为一，再整体视 为一个变量解题.齐次化构造有着广泛的应用，如二元最值问题，圆锥曲线中的斜率之和等， 以及本文中的例题 1 中的双变量问题也可通过齐次化构造解决，限于篇幅，本文不再展开， 大家不妨多方求证.
【简析】观察结论中的式子结构，让人情不自禁地联想到单调性的定义或导数的定义，又或 是斜率. 故而我们不妨顺其自然，利用以上的知识，进行合理构造处理.去绝对值符号为先.
不妨假设 x2 x1 0 ，
f (x) a 1 2ax 0 ， x 0 ， f (x) . x
命题等价证明： f (x1) f (x2 ) 4(x2 x1) f (x1) 4x1 f (x2) 4x2 .
答案： m ln 2 1.5
问题：已知
sin(
x
k
)
4cos(
x
k
)
，求
sin x cos cos(x
x )
与
sin
1 x cos
x
的值.
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【评注】此问题我们早已烂熟于心，其中将 1 中分子中的‘1’变为 sin2 x cos2 x ，这 sin x cos x
个‘1’的变换技巧，其实就是一种齐次化（等式不等式两边各项的次数相等）的构造！