第一讲 计数原理知识纵横：如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事 的方法总数，即各类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。

加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m 1种方法，第二类方法中有方法⋯⋯第 n 类有 m n 种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m 1+ m 2+ m 3+⋯ +m n 。

完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的 总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。

乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m 1 种方法，第二步有 m 2 种方法，第三步有种方法⋯⋯第 n 步有 m n 种方法，那么完成这件事共有 m 1× m 2× m 3×⋯× m n 种不同的方法。

例题求解：【例 1】 10 个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？例 2】一天有 6 节不同的课，这一天的课表有多少种排法？例 3】 1000 至 1999 这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？例 4】 4 只鸟飞入 4 个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同） 每个笼子只能进一只鸟。

若都不飞进自己的笼子里去，有 种不同的飞法。

例 5】 如果组成三位数 abc 的三个数字 a ， b ，c 中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为 特殊数”。

在所有的三位数中，共有 个“特殊数” 。

m 2种m 31、2、3、4 的长方形，使任何相邻的【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？基础夯实1、一件工作可以用3 种方法完成，有5 人会用第1 种方法完成，有4 人会用第2 种方法完成，有6 人会用第3 种方法完成。

选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？2、一件工序可以分3 步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3 步，每个人只会做一步。

选出三个人来完成这组工序共有多少种选法？3、用1、2、3、4、5 这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？4、有20 个队参加篮球比赛，比赛先分三组，第一组7个队，第二组6个队，第三组7 个队，每组先进行单循环赛，然后由每小组的前两名共6 个队，再进行单循环赛，决出冠亚军。

问：共需要比赛多少场？5、7个人并排站成一排，如果甲必须站在中间，有多少种排法？如甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？6、某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？7、四位数2336、2445、2782、2116等有一些共同的特征，每个数都以 2 开头，并且恰好每个数中只有两个相同的数字，求这样的四位数一共有多少个？综合创新：8、如下图，一共有九个点，相邻两个点之间的距离为 1 厘米，求用这九个点一共可以组成多少个三角形？第二讲抽屉原理知识纵横：抽屉原理：有m件物体，放进n 个抽屉里去。

如果物体比抽屉多（即m大于n），那么必有一个抽屉要放进两件或两件以上的物体。

例题求解：【例1】把10个苹果摆到9 个盘子里，不管怎么摆，一定有一个盘子里至少有__________________ 个苹果。

有4 个同学练习投篮，一共投进30 个球，一定有一个人至少投进了几个球？【例2】有5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子。

请问，这5 个人中至少有几个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的？例3】一副扑克牌（去掉两张王），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌花色情况是相同的？例4】从2，4，6，⋯30这15 个偶数中，任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34.【例5】用红、蓝两种颜色将一个3× 9 的矩形中的小方格随意涂色，证明：必有两列，他们的小方格中涂的颜色完全相同。

例6】学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定每个同学最我可以借2本书，在借书的85 名同学中，可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？【例7】问在1，3，5，7⋯⋯97，99 这50个奇数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个数都不是另一个数的倍数。

基础夯实1、6只小鸡飞进5 个鸟笼里，不管怎么飞，一定有一个笼子里至少飞进了（、三名同学到图书馆借书，他们共借了7 本书，那么一定有一个同学至少借了（、一位同学一星期读完了一本80 页的故事书，那么他一定有一天至少读了（、某小学有367 个同学，那么一定有两人的生日是同一天，为什么？、有13 个学生，其中至少有两个人在同一个月内过生日，为什么？、棕、蓝、绿、橙四种颜色的小球各10 个，混合放在一个布袋里，一次摸出小球）只小鸟。

）本书。

）页。

5 个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？7 、小朋友帮助幼儿园的阿姨搬运兔、狗、长颈鹿三种塑料玩具，每个小朋友从中任意选择两件，那么，至少要有几个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？8 、一副扑克牌有4 种花色，每种花色有13 张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能保证有4 张牌是同一花色的？9、有19 个同学参加了生物组、音乐组、美术组等课外活动，每人可参加一个组，两个组或三个组，这些同学中至少有几个同学参加了相同的组？10 、从10到20这11 上自然数中，任取7个数，证明：其中一定有两个数之和是29.拓展延伸：用红、黄两种颜色将一个2× 5 的矩形中的小方格，随意涂色，每个方格涂一种颜色。

证明：必有两列，他们的小方格中涂的颜色完全相同。

第三讲容斥原理知识纵横：容斥原理：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这种计数方法叫做容斥原理，也叫包含与排除。

例题求解：【例1】、在1～2003的自然数中，能被2 整除或能被5整除的数共有多少个？例2】、在1～500中，不能被2 整除，也不能被3整除，又不能被7 整除的数有多少个？【例3】、六年级的160 名学生参加期末考试，其中数学得满分的有58名，语文得满分的有53 分，英语得满分的有59名，数学、语文都得满分的有17 名，数学、英语都得满分的有22名，语文、英语都得满分的有20 名，数学、语文、英语都得满分的有10 名。

问六年级三科考试都没有得满分的有多少名？【例4】、如图所示，A、B、C 分别代表面积为12、28、16 的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的面积为38，且A 与B，B与C，C与A 公共部分面积为8，7，6，求A、B、C三个图形公共部分的面积。

【例5】、星期日小丰骑自行车去同学A、B、C三家玩，他如果从A 出发经过B到C，共行10千米，如果从B出发经C达A，共行13千米，如果从C出发经过A到达B，共行11千米。

问：哪两个同学家之间的距离最短？最短的距离是多少千米？【例 5】、如图，在长方形 ABCD 中， AD=15厘米， AB=8厘米，四边形 OEFG 的面积是 9平方厘米，求阴影部 分的总面积。

基础夯实1、50 以内 5 的倍数和 7 的倍数的自然数共有多少个？2、在 1 至 100 的全部自然数中，既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少？3、在从 1 到 60 的整数中，能被 3 或 4或 5 整除的数有多少个？4、四（一）班 50 个学生，每人至少参加了一个兴趣小组，其中37 人参加科技组， 25 人参加美术组，求同时参加两个兴趣小组的人数是多少？5、六（一）班全体同学在期末测试中，语文、数学这两科至少有一门获得优秀，其中有秀，有 32 人数学获得优秀，两科都获得优秀的学生有 17人。

求该班学生的总人数。

6、六年级有 60人爱好数学， 50人爱好语文， 42人爱好体育， 30人既爱好数学又爱好语文， 20 人既爱好 语文又爱好体育， 35 人既爱好优育又爱好数学，有 18 人则三方面都爱好，请问这个年级中数学、语文、 体育三个方面至少爱好一项的学生有多少名？30 人语文获得优7、五年级四班48 个学生中，每个人至少会骑自行车和游泳中的一项，平均每12 个人中有7 人会游泳，每4 个人中有一个人两样都会，并且每个人至少会一样，求会骑自行车的有多少人？8、有一个数，除以3 余数是2，除以4 余数是1，问这个数除以12余数是几？9、有50 名同学面向老师站成一行。

老师让同学们从左到右依次按1、2、3、4、⋯⋯的顺序报数，报完后，让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转，问此时还有多少名同学面向老师？第四讲推理与论证知识纵横：本专题主要涉及计算推理、列表推理来进行逻辑推理和用奇偶分析法、极端化思考来进行证明的一些方法。

这类数学题似乎不像数学题，因为题目中有时没有数据和图形，只出现一些相互关联的条件，有时也不需要演算或作图来解决，但是讨论这些问题必须有条理清晰的思维和严谨的推理与证明方法，这种训练对提高我们的数学思维能力，形成良好的思维方式和意识，具有不可低估的作用。

例题求解：【例1】、甲说：“乙和丙都说谎。

”乙说：“甲和丙都说谎。

”丙说：“甲和乙都说谎。

”根据三人所说，下面四种说法中，哪一种说法是正确的。

（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；（3）三人中有一人且只有一人说谎；（4）三人中有一人且只有一人不说谎。

【例2】、甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是：8、7和17 分，甲得了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名得分不低于二、三名得分的和，那么比赛共有多少个赛项？甲的每项得分分别是多少？【例3】、孙明、李冬和陈元是中学教师，在语文、数学、政治、地理、音乐和图画六门课中每人教两门，现在已知：（1）政治老师和数学老师是邻居。

（2）陈元最年轻。

（3）李冬老师常对地理老师和数学老师说他爱看书、爱听音乐。

（4）地理老师比语文老师年纪大。

（5）陈元、音乐老师和语文老师三人常一起看足球赛。

问：三位老师每人教哪两门？【例4】、一本书的页码共需N个数字来表示。

例如，一本书11页，页码1～11就需13 个数字表示，小冬统计了5 本书页码所用数字的个数，分别是109，157，1005，1995，2002，这5 个统计数据中的错误的数据是哪个数？【例5】、6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。

然后每个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如下图。

问：亮出数11 的人原来心中想的数是多少？基础夯实1、某年的三月有五个星期一，四个星期二，这一年的四月一日是星期几？2、A、B、C三人所读学校为甲校、乙校和丙校，分别爱好篮球、足球、排球。