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实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求:1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求已知集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集基本要求:1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质,掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开(闭)集,完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点:一、基本结论:1、聚点性质§2 中T1聚点原则:P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内,至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn},使Pn→P0 (n→∞)2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2:设A⊂B,则A⊂B,·A⊂·B,-A⊂-B。

T3:(A∪B)′=A′∪B′.3、开(闭)集性质(§3中T1、2、3、4、5)T1:对任何E⊂Rⁿ,Ė是开集,E´和―E都是闭集。

(Ė称为开核,―E称为闭包的理由也在于此)T2:(开集与闭集的对偶性)设E是开集,则CE是闭集;设E是闭集,则CE是开集。

T3:任意多个开集之和仍是开集,有限多个开集之交仍是开集。

T4:任意多个闭集之交仍是闭集,有限个闭集之和仍是闭集。

T5:(Heine-Borel有限覆盖定理)设F是一个有界闭集,ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F(即Fс∪iєIUi),则ℳ中一定存在有限多个开集U1,U2…Um,它们同样覆盖了F(即F⊂m∪ Ui)(iєI)4、开(闭)集类、完备集类。

开集类:Rⁿ,Φ,开区间,邻域、Ė、Pо闭集类:Rⁿ,Φ,闭区间,有限集,E΄、E、P完备集类:Rⁿ,Φ,闭区间、P二、基本方法:1、判断五种点的定义;2、利用性质定理,判断导集、邻域等;3、判断开集、闭集;4、关于开闭集的证明。

第三章测度论基本要求:1、理解外测度的概念及其有关性质。

2、掌握要测集的概念及其有关性质。

3、掌握零测度集的概念及性质。

4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集,掌握一批可测集的例子。

5、会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、掌握“判断集合可测性”的方法,会进行有关可测集的证明。

要点归纳:外测度:①定义:E⊂Rⁿ Ii(开区间)∞∪ IiכE m*(E)=inf∑i│Ii│②性质:(1) 0≤m*E≤+∞(非负)(2)若AсB则m*A≤ m*B(单调性)(3)m*(∞∪A i)≤∞∑m*A i(次可列可加性)③可测集:E⊂Rⁿ对任意的TєRⁿ有:m*(T)= m*(T∩E)+ m*(T∩CE)称E为可测集,记为mE 其性质:1)T1:E可测⇔∀A⊂E B⊂C E使m*(A∪B)= m*A+ m*B2)T2:E可测⇔CE可测④运算性质:设S1、S2可测⇒S1∪S2可测(T3);设S1、S2可测⇒S1∩S2可测(T4);设S1、S2可测⇒S1-S2可测(T5)。

⑤S1、S2…S n可测⇒∪S i可测(推论3)∩S i可测(T7)⑥S1、S2…S n…可测,S i∩S j=φ⇒∪S i可测m(∪S i)=∑m(S i)(T6)⑦S i递增,S1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪S i)=lim mS i=Ms(T8)⑧S i递降可测, S1כS2כS3כ…当m S1<+∞⇒lim m(∩S i)=lim mS n (T9)⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0,1]∩Q、Ф、P零测度集的子集是~,有限个、可数个零测度集之并是~。

2)区间是可测集 m I=│I│ 3)开集、闭集;4)Borel集定义,设G可表为一列开集的交集,且称G为Gδ型集如[-1,1];设F可表为一列闭集之并,则称为Fσ型集,如[0,1]Borel集定义:从开集出发,用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集(不超过可数次)的集合。

T6:设E是任一可测集,存在Gδ集,使E⊂G,且m(G-E)=0T7:设E是任一可测集,存在Gσ集,使F⊂E,且m(F-E)=0可测集是存在的。

第四章可测函数基本要求:1、掌握可测函数的概念和主要性质。

2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立(几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…)的概念。

3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法,会进行关于可测函数的证明。

5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。

6、了解依测度收敛的概念及其性质。

7、理解三种收敛之间的关系。

(一)基本概念1可测函数:ƒ是定义在可测集E Rⁿ上的实函数,任意的α∈RE[ƒ>α]是可测集,称ƒ(x)是E上的可测函数ƒ可测⇔任意的α∈R E[ƒ≧α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ<α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ≦α]是可测集⇔任意的α,β∈R E[α≤ƒ<β]是可测集(│ƒ│<+∞)几乎处处成立2连续函数、简单函数3依测度收敛、收敛 、一致收敛(二)基本结论:可测函数的性质(8个定理)(1) 充要条件(T 1)4 个等价条件(2) 集合分解T 3(2),ƒ在E i 之并S ∪E i 上,且在E i 上可测=> ƒ在S ∪E i 上可测(3) (四则运算)ƒ ,g 在E 上可测ƒ+g ,ƒg ,│ƒ│,1/ ƒ在E 上可测。

(4) 极限运算 { ƒn }是可测函数列,则μ=inf ƒn λ(x )=sup ƒn 可测(T5)⇒F=lim ƒn G=── lim ƒn 可测(5) 与简单函数的关系:ƒ在E 上可测 ⇒ ƒ总可以表成一列简单函数{φn }的极限函数 ƒ=lim n φn ,而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…2.ЕгopO в定理:mE<+∞ ƒn 是E 上a .e 于一个a .e 有限的函数ƒ的可测函数 ⇒ 对任意的δ>0 存在子集E δ⊂E 使得ƒn 在E δ上一致收敛且m (E-E δ)<δ3Лузин定理:ƒ是E 上a.e 有限可测函数,任意δ>0 ∃闭子集E δ⊂E 使得ƒ在E δ上连续 且m (E-E δ)<δ即在E 上a.e 有限的可测函数是:“基本上连续”的函数。

4可测函数类:连续函数(T2)、简单函数、R 上单调函数、零测度集上函数。

5三种收敛之间的关系:( E ⊂R ⁿ mE <+∞)(Riesz:f n⇒f 则{f ni}→f a.e于E)Lebesgue:1) mE<+∞;2)f n E 上a.e有限的可测函数列;3)f n E 上a.e收敛于a.e有限的ff n⇒f(x) 在此mE<+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛补充定理(见复旦§3.2 T5) mE<+∞,fn是E上可测函数列fn⇒f ⇔{fn}的(任何子列)∀fn i,总可以找到子子列(∃) fn ij →f a.e于E三、基本方法:1判函数可测(1)集合判别法,任意的a∊R E[f>a] 是可测集(2)集合分解法,E=∪E i E i∩E j=Ф f在E i上可测(3)函数分解法,f可表为若干函数的运算时(4)几乎处处相等的函数具有相同的可测性(§1,T8)(5)可测函数类2判断三种函数之间的关系第五章积分论基本要求:1、了解可测分划、大(小)和、上(下)积分、有界函数L可积和L积分的概念。

2、掌握有界函数L积分的性质。

3、理解非负函数L积分与L可积的概念。

4、理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。

5、掌握一般函数的L积分的性质。

6、掌握L积分极限定理。

7、 弄清L 积分与R 积分之间的关系。

8、 熟练掌握计算L 积分的方法。

9、 会利用L 积分极限定理进行有关问题的证明。

10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。

11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。

Lebesgue 积分1、 Riemann 积分 分割、作和、取确界、求极限。

2、 Lebesgue 积分定义1:E=n∪Ei,各E i 互不相交,可测,则称{E i }为E 的一个分划,记作D={E i }定义2:设f 是定义在E ⊂R ⁿ(m E <∞)上的有界函数,D={E i }令B і=su pxєEif (x ) b i=in fxєEif (x )大和S (D ,f )=∞∑Bi m E i = S (D ,f )小和ş(D ,f )=∞∑b i m E i=ş(D ,f )ş(D ,f )≤S (D ,f )定义3:设f 是定义在E ⊂R ⁿ(m E <∞)上的有界函数上积分:– ∫Ef (x )dx=inf{ S (D ,f )}下积分:∫ –E f (x )dx=sup ş(D ,f )若上下积分相等,则称f 在E 上可积,其积分值叫做L 积分值,记(L )∫E f (x )dxT1:设 f 是定义在E ⊂R q (m E <∞)上的有界函数,则f 在E 上L 可积‹═›任意的ε> 0S (D ,f )- ş(D ,f )<εT2:f 在E 上L 可积⇔f 在E 上可测 (*)对有界函数而言,L 可积⇔可测T3:f ,g 有界,在E 上可测,f±g ,fg ,f/g , │f │可积T4:f 在[a ,b]上R 可积═›L 可积,且值相等 *L 积分的性质:T-1(1):f 在E 上L 可积,则在E 的可测子集上也L 可积;反之, E=E 1∪E 2 E 1∩E 2=φ E 1、E 2可测,若f 在E i 上L 可积,则f 在E 上可积 ∫E fdx= ∫E1fdx+ ∫E2fdx (积分的可加性)(2) f ,g 在E 上有界可测 ∫E (f+g )dx=∫ E fdx+∫E gdx(3)任意c єR ∫ E c fdx=c ∫E fdx(4)f ,g 在E 上L 可积,且f ≤g 则∫E fdx ≤∫E gdx特别地,b ≤f ≤B ∫E fdx є[bmE ,BmE]推论1:(1)当mE=0 ∫E fdx=0(2)f=c ∫E fdx=cmE(5)f 在E 上可积,则│f │可积,且│∫E fdx │≤∫E │f │dx T-2 (1)设f 在E 上L 可积 f ≥0 ∫E fdx=0 则 f=0 a.e 于E(2)f 在E 上L 可积,则对任意的可测集A 属于E使lim mA→0 ∫A fdx=0 (绝对连续性)推2:设f ,g 在E 上有界可积,且f=g a.e 于E则 ∫E fdx= ∫E g dx证明思路: E=E 1∪E 2 E 1∩E 2=φ E 1=E [f ≠g]∫E (f- g)dx = ∫E1 + ∫E2 (f- g)dx=0注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E 的一个零测度子集0E 上无定义亦可.2)从E 中除去或添加有限个或可数个点L 积分值不变一般函数的积分一、 非负函数:f, E ⊂E q二、 定义: f ≥0 E ⊂E q mE <∞[f(x)]n={fn f≤nf>n 称[f]n 为(E 上)截断函数性质:(1) ∀ [f(x)]n 有界非负, f ≤n(2)单调 [f]1≤[f]2≤[f]3≤…(3)limn→∞[f]n=f (x )定义1:设f 为非负(于E )可测(mE <∞)称∫Efdx =∫E limn→∞[f]n d x (若存在含无穷大)为f 在E 上的L 积分当∫E limn→∞[f]n d x 为有限时,称f 为在E 上的非负可积函数 注:①非负可积一定存在分② L三、 一般函数的积分设f 在E (mE <+∞)上可测, f + f -在E 上非负可测,则│f │可测 ∫E f + dx ∫E f - dx 存在 f= f + - f -∫E f dx=∫E f + dx-∫E f -dx 定义 2:设f 在E (mE <+∞)上可测,若∫E f + dx 和∫E f -dx 不同时为+∞ 则称f 在E 上积分确定当∫E f dx <+∞时,则称f 在E 上L 可积注:①f 可测 f 的积分确定 可积②有界函数−−−←][f n 非负函数−−−−←-+f f 一般函数mE <+∞L 积分的性质:定理1-(1):若 mE=0,则 ∫E f dx=0(2):f 在E 上可积⇒mE[f=+∞]=0 f 有限a .e 于E 同(R )(3):f 在E 上积分确定⇒ f 在可测子集E 1 ⊂E 上积分确定12E E E fdx fdx fdx =-⎰⎰⎰ E=E 1∪E 2 (4):f 在E 上积分确定,f=g a .e 于E 则f,g 的积分确定且相等 几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等)同(R)(5):f,g 在E 上非负可测⇒∫E (f+g) dx=∫E f dx+∫E fgdx 同(R)(6): f,g 在E 上积分确定f ≤g ⇒ ∫E f dx ≤∫E fgdx L 可积性质定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略)积分极限定理T-1 L 控制收敛定理设1){fn}是E 上一列可测函数2)│fn │≤f (x ) f 为L 可积函数3)fn ⇒f (fn →f a.e 于E )则f 是E 上L 可积函数,且limn→∞∫E fn d x=∫E f d xL 有界收敛定理设1){n f }是E 上一列可测函数, mE <+∞2)│n f │≤K (常数)3)n f ⇒f (n f →f a.e 于E )则f 是E 上L 可积函数,且limn→∞∫E n f dx=∫E f dxT-2(Levi)设{n f }是E 上一列非负可测函数, n f ≤1n f +则limn→∞∫E n f dx=∫E limn→∞ n f dxT-3设{n f }是E 上一列非负可测函数,则∫E ∑∞=1n n f n dx=∑∞=1n ∫E n f dx (逐项积分定理)T-4(积分的可数可加性)f 在可测集E ⊂E q 上的积分确定,且E=∞∪Ei其中E i 为互不交的可测集, 则 ∫E f∞∫E i f dx有界变差函数分划:T:a=x0 <x1<x2<…<xn=b 若E{∑│()i f x - 1()i f x - │}为界数集则称f 在[a,b]上是有界变差函数 ,上确界称为全变差,记V b a (f )=sup ∑=n i 1│f (xi )-f (xi-1)│有限闭区间上满足Lipschtz 条件的f 是有界变差有限闭区间上单调有限函数是有界变差V b a(f )=│f (b )-f (a )│T-2性质:1)()()b c b a a cf f V V V =+(f )可加性2)f 在[a,b]上是有界变差⇒f 有界3)f ,g 有界变差⇒f ±g ,f g 有界变差T-3(Jordan 分解)f ∈V[a ,b] ⇔f 可分解为两个有限增函数之差有界变差函数不连续点至多可列个,f ∈V[a ,b],V b a(f )=0=>f =constT-4(Lebesgue)设f ∈V[a ,b],则1) 在[a ,b]上几乎处处存在导数f'(x)2) f'(x)在[a ,b]上可积3) 若f 是增函数,有∫ba f'(x)dx ≤f(b)-f(a)不定积分定义1:设f 在[a ,b]上L 可积, f ∈L[a ,b]∫[a,x] f dx 称为f 在[a ,b]上的不定积分定义2:设F(x ) 是[a ,b]上的有界函数,∀ε>0 ,∃δ>0 [a i ,b i ]不交,只要∑=n i 1( bi- ai)< δ 就有∑=n i 1│F(bi)-F(ai)│<ε,则称f 为[a ,b]上的绝对连续函数(全连续函数)定理1:f ∈[a ,b] F (x )=∫[a,x] f dx+C 为绝对连续函数绝对连续⇒一致连续且有界变差f 满足Lipschtz 条件⇒f 全连续T2:F (x )为[a ,b]上绝对连续函数,F'(x )=0 a .e 于[a ,b]则F (x )=constT3: f ∈L[a ,b],F (x ) ,使F'(x )= f (x )a.e 于[a ,b](只需取F (x )=∫[a,x] f dx)T4: f 是[a ,b]上绝对连续函数,则几乎处处有定义的F'(x )在[a ,b]上可积, 且 F (x )= F (a )+ ∫[a,x] f dx即F (x )总是[a ,b]上可积函数的不定积分.F 是[a ,b]上绝对连续函数⇔F 是一可积函数的不定积分对绝对连续函数,微分再积分也还原(至多差一常数)T5:(分部积分) f在[a,b]上绝对连续,λ(x)在[a,b]上可积且g(x)-g(a)= xλ(x)dx 则有a∫baf(x)λ(x)dx=f(x)λ(x)│ba-∫baf'(x)λ(x)dx补充:(见南京大学教材)fє V[a,b],则f(x)=φ(x)+r(x)+s(x)φ(x)为全连续;r΄(x)为奇异函数;s(x)为跳跃函数f(x)=p(x)-n(x)+f(a)p(x)为正变分;n(x)为负变分。

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