第一章 直角三角形的边角关系第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。

即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。

我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。

求加高后的坝底HD 的宽为多少？在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

■例4方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。

2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。

3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。

4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。

5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？第2节 30°，45°，60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。

■例1求下列各式的值。

（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。

本节作业：1、 求下列各式的值。

（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。

2、 已知a 为锐角，且tana=5，求aa aa sin cos 2cos 3sin +-的值。

3、 △ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？4、（2008·成都中考）2︒45cos 的值等于________。

5、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒。

第3节 三角函数的有关计算本节内容：利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 锐角三角函数计算的实际应用（难点） 1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 计算三角函数的具体步骤大体分两种情形： （1）先按三角函数键，再按数字键； （2）或先按数字键，再按三角函数键。

利用计算器还可以求角度的大小。

利用计算器求下列锐角的三角函数值。

（1）︒35sin ； （2）︒85tan ；（3）''25'3872sin ︒； （4）'1547cos ︒。

仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。

俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。

■例2小刚面对黑板坐在椅子上。

若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E ，过点E 的该矩形的高为BC ，把小刚眼睛看做点A 。

现测得BC=1.41米，视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°，求AC 与AE 的长（精确到0.1米）。

典型例题：例1用计算器求下列三角函数值。

（精确到0.001） （1）︒35sin （2）︒42cos （3）︒75tan例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。

（精确到1’） （1）5276.0sin =α （2）5276.0cos =α （3）5276.0tan =α例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。

BC//AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。

（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（精确到0.1m ）（2） 为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 前进到F 点处，问BF 至少是多少？（精确到0.1m ）（参考数据：,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒1918.150tan ≈︒）例4如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF 。

（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒结果精确到0.1m ）例5要求︒45tan 的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt △ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a ，则∠ABC=45°,所以145tan ===︒aaBC AC 。

你能否在此基础上，求出'︒3022tan 的值？例6（2009·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°。

问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）例7某轮船自西向东航行，在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B ，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？第4节 船有触礁的危险吗本节内容：方向角的定义 解直角三角形（重点） 解直角三角形的实际应用（难点） 1、方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。

如图，目标方向线0A 、0B 、0C 的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。

其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。

如OE 的方向角为南偏东45°，OG 的方向角为南偏西45°，那么，G 、E 可以说在O 的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G 在O 的西南方向，E 在O 的东南方向。

某次台风袭击了我国南部海域。

如图，台风来临前，我们海上搜救中心A 接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A 的正南方向180海里的救援队B 立即前往施救。

已知渔船所处位置C 在A 的南偏东34°方向，在B 的南偏东63°方向，此时离台风来到C 处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C 处对其施救？（参考数据：3234tan ,5334sin ,263tan ,10963sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）■例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。

滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。

（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。

根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。

台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？典型例题：例1在△ABC 中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC 的长。

例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼。

甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。

甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇。

（1） 甲船从C 处追赶乙船用了多长时间？（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪个上。

前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13 ）第5节 测量物体的高度本节内容：测量底部可以到达的物体的高度（重点） 测量底部不可以到达的物体的高度（难点）简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。

如图。

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：（1） 把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置。

（2） 转动转盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。

此度数就是测点相对于被测点的仰角或俯角。

说明：（1）所谓“底部可以到达“，就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。

（2）测量步骤如图（测量物体MN 的高度）：①在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α；②量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l ；③量出测倾器的高度AC=a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）。